Définition 2Distributions et EDP

Distributions ⋆

⋆ Axiome du choix

Le sens direct (ii) choisit, pour chaque entier $m$ , une fonction test qui met l'estimation en défaut : c'est le choix dénombrable, et l'atlas ne sait pas s'en passer. La définition, le point (i) et la convergence des distributions n'en font aucun usage, et aucun autre nœud ne s'appuie sur ce sens direct : la convolution (Convolution des distributions) se contente de la continuité séquentielle.

On garde les notations du nœud Fonctions test. Une distribution sur $\Omega$ est une forme linéaire $T : {\mathcal D}(\Omega) \to {\mathbb R}$ telle que $T(\varphi_k) \to T(\varphi)$ chaque fois que $\varphi_k \to \varphi$ dans $\mathcal D(\Omega)$ . On note $\langle T, \varphi\rangle = T(\varphi)$ , et ${\mathcal D'}(\Omega)$ l'espace vectoriel des distributions sur $\Omega$ .

Une suite $(T_k)$ de distributions converge vers $T$ dans $\mathcal D'(\Omega)$ si $\langle T_k, \varphi\rangle \to \langle T, \varphi\rangle$ pour toute $\varphi \in \mathcal D(\Omega)$ .

On dit que $T$ vérifie l'estimation par semi-normes si, pour tout compact $K \subset \Omega$ , il existe $C \geqslant 0$ et $m \in {\mathbb N}$ tels que $|\langle T, \varphi\rangle| \leqslant C\,p_m(\varphi), \qquad \varphi \in \mathcal D_K(\Omega).$ Si l'on peut prendre le même $m$ pour tous les compacts, le plus petit tel $m$ est l'ordre de $T$ .

Énoncé

(i) Une forme linéaire sur $\mathcal D(\Omega)$ qui vérifie l'estimation par semi-normes est une distribution.

(ii) Réciproquement, toute distribution vérifie l'estimation par semi-normes.

Démonstration

(i) Soit $\varphi_k \to \varphi$ dans $\mathcal D(\Omega)$ , les supports étant dans un compact $K$ . Le support de $\varphi$ est aussi dans $K$ : $\varphi$ , limite simple des $\varphi_k$ , est nulle sur l'ouvert $\Omega \setminus K$ , et $K$ est fermé. Avec $C$ et $m$ associés à $K$ , $\begin{aligned} |\langle T, \varphi_k\rangle - \langle T, \varphi\rangle| &= |\langle T, \varphi_k - \varphi\rangle| \\ &\leqslant C\,p_m(\varphi_k - \varphi) \to 0. \end{aligned}$

(ii) Supposons que l'estimation soit fausse pour un compact $K$ : pour tout entier $m \geqslant 1$ , l'ensemble des $\varphi \in \mathcal D_K(\Omega)$ telles que $|\langle T, \varphi\rangle| > m\,p_m(\varphi)$ n'est pas vide. Choisissons-en un élément $\varphi_m$ pour chaque $m$ (⋆).

On a $p_m(\varphi_m) > 0$ , sans quoi $\varphi_m = 0$ et $\langle T, \varphi_m\rangle = 0$ . Posons $\psi_m = \varphi_m / \big(m\,p_m(\varphi_m)\big)$ . Pour $j \leqslant m$ , $p_j \leqslant p_m$ , donc $p_j(\psi_m) \leqslant p_m(\psi_m) = \frac1m.$ Ainsi $\psi_m \to 0$ dans $\mathcal D(\Omega)$ , les supports restant dans $K$ , alors que $|\langle T, \psi_m\rangle| > 1$ : $T$ n'est pas une distribution.

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Remarque

La définition par les suites évite de munir $\mathcal D(\Omega)$ d'une topologie, la « limite inductive » des topologies des $\mathcal D_K(\Omega)$ , qui n'est pas métrisable. Le point (ii) montre que rien n'est perdu : une distribution est continue, sur chaque $\mathcal D_K(\Omega)$ , pour la famille des semi-normes $p_m$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que l'entier $m$ peut être choisi une fois pour toutes. La forme $\varphi \mapsto \sum_{j \geqslant 0} (-1)^j\varphi^{(j)}(j)$ sur $\mathcal D(\mathbb R)$ , somme finie pour chaque fonction test, est une distribution : sur $\mathcal D_{[-N, N]}$ , elle est majorée par $(N + 1)\,p_N$ , et tout compact est contenu dans l'un des $[-N, N]$ . Mais, pour $N \geqslant 1$ , sur un compact $K$ qui contient $[0, N + 1]$ , l'entier $m$ doit être au moins $N$ .

En effet, notons $T$ cette distribution, soit $\chi$ une fonction test nulle hors de $]{-\frac12}, \frac12[$ et égale à $1$ sur $[-\frac14, \frac14]$ (Fonctions test, (iii)), et $\psi(x) = x^N\chi(x)$ , qui vaut $x^N$ près de $0$ , de sorte que $\psi^{(N)}(0) = N!$ . Pour $0 < \varepsilon \leqslant 1$ , la fonction $\varphi_\varepsilon(x) = \varepsilon^N\psi\big((x - N)/\varepsilon\big)$ est nulle hors de $]N - \frac12, N + \frac12[ \subset K$ : la distribution n'en voit que le terme d'indice $N$ , et $|\langle T, \varphi_\varepsilon\rangle| = |\varphi_\varepsilon^{(N)}(N)| = N!$ . Or $\varphi_\varepsilon^{(k)}(x) = \varepsilon^{N-k}\psi^{(k)}\big((x - N)/\varepsilon\big)$ , si bien que $p_m(\varphi_\varepsilon) \leqslant \varepsilon^{N-m}p_m(\psi)$ tend vers $0$ avec $\varepsilon$ pour $m < N$ : aucune inégalité $|\langle T, \varphi\rangle| \leqslant C\,p_m(\varphi)$ avec $m < N$ ne vaut sur $\mathcal D_K(\mathbb R)$ . Comme $N$ est quelconque, cette distribution n'a pas d'ordre fini.

Remarque

Dans l'estimation, $C$ et $m$ ne dépendent que de $K$ , jamais de $\varphi$ . Le nœud Convolution des distributions n'en a pourtant pas besoin : il dérive $x \mapsto \langle T, \varphi(x - \cdot)\rangle$ par la seule continuité séquentielle, et passe des suites aux limites en énumérant les rationnels, sans choix.

Repose sur

Fonctions test et noyau régularisant

Sert à

Fonctions localement intégrables, masse de Dirac, valeur principale