Convolution d'une distribution par une fonction test

(i) Des suites aux limites, sans choix. Soit $A \subset \mathbb R^d$ dont tout point est limite d'une suite de points de $A \cap {\mathbb Q^d}$, $F : A \to \mathbb R$ séquentiellement continue en tout point de $A$, $a$ adhérent à $A$ et $\ell$ réel, tels que $F(y_k) \to \ell$ pour toute suite $(y_k)$ de $A$ qui tend vers $a$. Alors $F(y) \to \ell$ quand $y \to a$ dans $A$.

Fixons une énumération $(q_i)$ de $\mathbb Q^d$ (ℚ est dénombrable, (ii)). Sinon, il existe $\varepsilon > 0$ tel que, pour tout entier $j \geqslant 1$, un point $y \in A$ vérifie $|y - a| < \frac1j$ et $|F(y) - \ell| \geqslant \varepsilon$. Pour un tel $y$, les premiers $q_i$ de $A$ à distance $< \frac1k$ de $y$, $k \geqslant 1$, forment une suite qui tend vers $y$, le long de laquelle $F$ tend vers $F(y)$ : un rationnel $q \in A$ vérifie donc $|q - a| < \frac1j$ et $|F(q) - \ell| > \frac\varepsilon2$. Le premier $q_i$ qui a ces deux propriétés définit, sans aucun choix, une suite qui tend vers $a$ et le long de laquelle $F$ ne tend pas vers $\ell$, ce qui est exclu.

Majorations. Soit $L$ une boule fermée de $W$ et $K$ le compact associé. Pour tous multi-indices $\alpha$ et $\gamma$, la fonction $\partial_z^\gamma\partial_y^\alpha\Phi$ est continue, donc bornée sur le compact $L \times K$ ; notons $M_{\gamma,m}$ le maximum de ces bornes pour $|\alpha| \leqslant m$.

Continuité. Pour $z, z' \in L$, $\Phi(z', \cdot) - \Phi(z, \cdot) \in \mathcal D_K(\Omega)$, et les accroissements finis le long du segment $[z, z'] \subset L$, comme au nœud Intégrales à paramètre, (i), donnent, pour tout $m$, $$\begin{aligned} &p_m\big(\Phi(z', \cdot) - \Phi(z, \cdot)\big) \\ &\quad \leqslant |z' - z|\sum_j M_{e_j,m}. \end{aligned}$$ Si $z_k \to z$, alors $\Phi(z_k, \cdot) \to \Phi(z, \cdot)$ dans $\mathcal D(\Omega)$, et $g(z_k) \to g(z)$ par continuité séquentielle de $T$. Le lemme ci-dessus, avec $A = W$ et $\ell = g(z)$, montre que $g$ est continue.

Dérivées. Pour $z$ intérieur à $L$ et $s \neq 0$ petit, la formule de Taylor-Lagrange en $s$, appliquée à chaque $\partial_y^\alpha\Phi(z + se_j, y)$, donne $$\begin{aligned} &p_m\Big(\frac{\Phi(z + se_j, \cdot) - \Phi(z, \cdot)}s - \partial_{z_j}\Phi(z, \cdot)\Big) \\ &\quad \leqslant \frac{|s|}2\,M_{2e_j,m}, \end{aligned}$$ les dérivées en $y$ et en $z$ commutant (Schwarz, (i)). Pour toute suite $s_k \to 0$ de réels non nuls, le taux d'accroissement de $g$ tend donc vers $\langle T, \partial_{z_j}\Phi(z, \cdot)\rangle$. Ce taux est une fonction continue de $s$ sur $]{-r}, r[ \setminus \{0\}$, et le lemme, appliqué en $a = 0$, donne $\partial_j g(z) = \langle T, \partial_{z_j}\Phi(z, \cdot)\rangle$. Comme $\partial_{z_j}\Phi$ vérifie les mêmes hypothèses, une récurrence et le nœud Classe Cᵏ, (i), concluent.

(ii) La fonction $I$. Par le nœud Intégrales à paramètre, (i), avec la domination $\sup|\partial_y^\alpha\Phi|\,\mathbf 1_L$, $I$ est de classe $C^\infty$ sur $\Omega$, avec $\partial^\alpha I = \int \partial_y^\alpha\Phi(z, \cdot)\,dz$ ; elle est nulle hors de $K$. Par (i), $g$ est de classe $C^\infty$ et nulle hors de $L$.

Sommes de Riemann. Pour $k \geqslant 1$ et $q \in {\mathbb Z^d}$, soit $Q_{k,q} = \frac qk + [0, \frac1k[^d$ ; ces cubes forment une partition de $\mathbb R^d$ et sont de mesure $k^{-d}$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)). Soit $M_k$ l'ensemble fini des $q$ tels que $Q_{k,q}$ rencontre $L$, et $$S_k(y) = k^{-d}\sum_{q \in M_k}\Phi\Big(\frac qk, y\Big),$$ fonction de $\mathcal D_K(\Omega)$. Si $\frac qk \in L$, alors $q \in M_k$ : $S_k$ contient tous les termes non nuls.

Convergence dans $\mathcal D$. Pour tout $\alpha$, la fonction $z \mapsto \partial_y^\alpha\Phi(z, y)$ est $\Lambda_\alpha$-lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$, avec $\Lambda_\alpha$ indépendant de $y$, par les accroissements finis sur $\mathbb R^d$, ses dérivées en $z$ étant bornées. Comme $$\begin{aligned} &\partial^\alpha I(y) - \partial^\alpha S_k(y) \\ &\ = \sum_{q \in M_k}\int_{Q_{k,q}}\big(\partial_y^\alpha\Phi(z, y) \\ &\hspace{5em} - \partial_y^\alpha\Phi(\tfrac qk, y)\big)\,dz, \end{aligned}$$ et que la réunion des $Q_{k,q}$, $q \in M_k$, est contenue dans $L + [-1, 1]^d$, on obtient $$\begin{aligned} &|\partial^\alpha I(y) - \partial^\alpha S_k(y)| \\ &\quad \leqslant \frac{\Lambda_\alpha}k\,\lambda\big(L + [-1, 1]^d\big). \end{aligned}$$ Ainsi $S_k \to I$ dans $\mathcal D(\Omega)$, et $\langle T, S_k\rangle \to \langle T, I\rangle$.

Le premier membre. Par linéarité, $\langle T, S_k\rangle = k^{-d}\sum_{q \in M_k} g(\frac qk)$. La fonction $g$, de classe $C^\infty$ et nulle hors de $L$, est lipschitzienne, et la même majoration montre que ces sommes tendent vers $\int g$.

(iii) Régularité. Appliquons (i) avec $W = \Omega_\varepsilon$ et $\Phi(x, y) = \varphi(x - y)$. Si $L$ est une boule fermée de $\Omega_\varepsilon$, les $\Phi(x, \cdot)$, $x \in L$, sont nulles hors du compact $K = L + \bar B(0, \varepsilon) \subset \Omega$ (Fonctions test, (iv)). Comme $\partial^\alpha_x[\varphi(x - y)] = (\partial^\alpha\varphi)(x - y)$, on obtient $\partial^\alpha(T * \varphi) = T * \partial^\alpha\varphi$.

Dérivée de $T$. Comme $\partial^\alpha_y[\varphi(x - y)] = (-1)^{|\alpha|}(\partial^\alpha\varphi)(x - y)$, la définition de $\partial^\alpha T$ (Dérivation) donne $$\begin{aligned} &\langle \partial^\alpha T, \varphi(x - \cdot)\rangle \\ &\quad = (-1)^{|\alpha|}\langle T, \partial^\alpha_y[\varphi(x - \cdot)]\rangle \\ &\quad = (T * \partial^\alpha\varphi)(x). \end{aligned}$$ Les deux dernières affirmations sont les définitions de $f * \varphi$ (Régularisation) et de $\delta$.

(iv) Crochet. Appliquons (ii) avec $d = n$ et $\Phi(x, y) = \psi(x)\varphi(x - y)$, où $\psi$ est prolongée par $0$ : $L = \operatorname{supp}\psi$, $K = L + \bar B(0, \varepsilon)$. Le premier membre de (ii) est $\int \psi\,(T * \varphi)$, et $I(y) = \int \psi(x)\varphi(x - y)\,dx = (\psi * \check\varphi)(y) = (\check\varphi * \psi)(y)$.

Associativité. Soit $x \in \Omega_{\varepsilon + \varepsilon'}$. Alors $\bar B(x, \varepsilon') \subset \Omega_\varepsilon$, puisque $\bar B(z, \varepsilon) \subset \bar B(x, \varepsilon + \varepsilon') \subset \Omega$ pour $|z - x| \leqslant \varepsilon'$. Appliquons (ii) à $\Phi(z, y) = \psi(x - z)\,\varphi(z - y)$, nulle hors de $\bar B(x, \varepsilon') \times \bar B(x, \varepsilon + \varepsilon')$ : $$\begin{aligned} &\big((T * \varphi) * \psi\big)(x) \\ &\quad = \Big\langle T, \int \varphi(z - \cdot)\,\psi(x - z)\,dz\Big\rangle. \end{aligned}$$ Le changement de variable $z = w + y$ montre que l'intégrale vaut $(\varphi * \psi)(x - y)$, et $\varphi * \psi$ est de classe $C^\infty$ (Régularisation, (i)), nulle hors de $\bar B(0, \varepsilon + \varepsilon')$.

(v) Pour $\varepsilon < \eta$, $\operatorname{supp}\psi \subset \Omega_\eta \subset \Omega_\varepsilon$, et (iv) donne, $\rho$ étant paire, $$\begin{aligned} \langle T * \rho_\varepsilon, \psi\rangle &= \langle T, \rho_\varepsilon * \psi\rangle \\ &= \langle T, \psi * \rho_\varepsilon\rangle. \end{aligned}$$ Par le nœud Régularisation, (iii), $\psi * \rho_{\varepsilon_k} \to \psi$ dans $\mathcal D(\Omega)$, et la continuité séquentielle de $T$ conclut.