Convolution par une fonction test et régularisation

(i) Appliquons le nœud Intégrales à paramètre, (i), avec $W = \Omega_\varepsilon$, ouvert (Fonctions test, (iv)), $A = \Omega$, $k = \infty$ et $h(x, y) = f(y)\,\varphi(x - y)$. Pour $y$ fixé, $h(\cdot, y)$ est de classe $C^\infty$, et $\partial^\beta_x h(x, y) = f(y)\,(\partial^\beta\varphi)(x - y)$ est borélienne en $y$.

Si $L$ est une boule fermée de $\Omega_\varepsilon$ et $x \in L$, $h(x, \cdot)$ est nulle hors de $L + \bar B(0, \varepsilon)$, compact contenu dans $\Omega$ (Fonctions test, (iv)). La fonction $$g_{L,\beta} = \big(\sup|\partial^\beta\varphi|\big)\,|f|\,\mathbf 1_{L + \bar B(0, \varepsilon)}$$ est donc intégrable et domine $\partial^\beta_x h$ : l'hypothèse (c) est remplie, et la formule de dérivation est celle de l'énoncé.

(ii) Soit $\varepsilon_0 > 0$ tel que $K \subset \Omega_{\varepsilon_0}$ (Fonctions test, (iv)), et $K' = K + \bar B(0, \varepsilon_0)$, compact contenu dans $\Omega$. Par le théorème de Heine (Heine), pour tout $\eta > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|f(y) - f(x)| < \eta$ pour $x, y \in K'$ et $|y - x| < \delta$.

Pour $x$ fixé, $\int_\Omega \rho_\varepsilon(x - y)\,dy = \int_{\mathbb R^n} \rho_\varepsilon = 1$ dès que $\bar B(x, \varepsilon) \subset \Omega$, par le changement de variables $y \mapsto x - y$ (Changement de variables, (ii)). Pour $\varepsilon < \min(\delta, \varepsilon_0)$ et $x \in K$, on a donc $$\begin{aligned} &(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) \\ &\quad = \int_\Omega \big(f(y) - f(x)\big)\,\rho_\varepsilon(x - y)\,dy. \end{aligned}$$ L'intégrande est nulle hors de $\bar B(x, \varepsilon) \subset K'$, où $|f(y) - f(x)| < \eta$ ; la valeur absolue est donc au plus $\eta\int\rho_\varepsilon(x - y)\,dy = \eta$.

(iii) Régularité et support. Par (i), pour $\Omega = \mathbb R^n$, $\psi * \rho_\varepsilon$ est de classe $C^\infty$. Si $(\psi * \rho_\varepsilon)(x) \neq 0$, l'intégrande ne peut être identiquement nulle : $\psi(y) \neq 0$ pour un $y$ tel que $|x - y| \leqslant \varepsilon$, et $x$ appartient au compact $\operatorname{supp}\psi + \bar B(0, \varepsilon)$, contenu dans $\Omega$ puisque $\operatorname{supp}\psi \subset \Omega_\eta \subset \Omega_\varepsilon$.

Dérivées. Comme $\psi * \rho_\varepsilon = \rho_\varepsilon * \psi$, le point (i), appliqué à $f = \rho_\varepsilon$ et à la fonction test $\psi$, nulle hors d'une boule, donne $$\partial^\alpha(\psi * \rho_\varepsilon) = \rho_\varepsilon * \partial^\alpha\psi = (\partial^\alpha\psi) * \rho_\varepsilon.$$

Convergence. Les supports sont tous dans le compact $\operatorname{supp}\psi + \bar B(0, \eta)$, contenu dans $\Omega$ (Fonctions test, (iv)). Par (ii), appliqué sur $\mathbb R^n$ à la fonction continue $\partial^\alpha\psi$ et au compact $\operatorname{supp}\psi + \bar B(0, \eta)$, hors duquel les deux fonctions sont nulles, $(\partial^\alpha\psi) * \rho_{\varepsilon_k} \to \partial^\alpha\psi$ uniformément sur $\mathbb R^n$. Ainsi $p_m(\psi * \rho_{\varepsilon_k} - \psi) \to 0$ pour tout $m$.