Fonctions test et noyau régularisant

(i) Stabilité. Le support d'une somme est contenu dans la réunion des supports, et $\partial^\alpha\varphi$, comme $a\varphi$, est nulle sur l'ouvert $\Omega \setminus \operatorname{supp}\varphi$ : leurs supports sont des fermés de $\Omega$ contenus dans le compact $\operatorname{supp}\varphi$, donc compacts (Parties compactes, (i)). Les sommes, les dérivées partielles et les produits de fonctions de classe $C^\infty$ le sont (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)).

Produits. Pour $f$ et $g$ de classe $C^1$, $\partial_j(fg) = (\partial_j f)\,g + f\,\partial_j g$, par la dérivée d'un produit en la variable $x_j$ (Opérations, (ii)). Si $\partial^\alpha(a\varphi)$ est une somme de termes $c\,\partial^\beta a\,\partial^{\alpha - \beta}\varphi$, l'application de $\partial_j$ à chacun donne $$c\,\partial^{\beta + e_j}a\,\partial^{\alpha - \beta}\varphi + c\,\partial^\beta a\,\partial^{\alpha + e_j - \beta}\varphi,$$ deux termes de la forme voulue pour $\alpha + e_j$ : la récurrence sur $|\alpha|$ conclut.

Suites. Si $\operatorname{supp}\varphi_k \subset K$, la fonction $\varphi$, limite uniforme des $\varphi_k$, est nulle hors de $K$, et $\operatorname{supp}\varphi \subset K$, puisque $K$ est fermé. Les supports de $\partial^\alpha\varphi_k$ et de $a\varphi_k$ sont aussi dans $K$. D'une part $p_m(\partial^\alpha\varphi_k - \partial^\alpha\varphi) \leqslant p_{m + |\alpha|}(\varphi_k - \varphi)$. D'autre part, si $N_m$ est la somme des entiers $c$ qui interviennent pour les $|\alpha| \leqslant m$ et $A_m = \max_{|\beta| \leqslant m} \sup_K |\partial^\beta a|$, fini par compacité, $$p_m(a\varphi_k - a\varphi) \leqslant N_m A_m\, p_m(\varphi_k - \varphi).$$

Prolongement. La fonction prolongée coïncide avec $\varphi$ sur l'ouvert $\omega$ et est nulle sur $\Omega \setminus \operatorname{supp}\varphi$, ouvert puisque le compact $\operatorname{supp}\varphi$ est fermé dans $\mathbb R^n$ (Parties compactes, (ii)). Ces deux ouverts recouvrent $\Omega$, et la classe $C^\infty$ est locale (Partition de l'unité, (i)). Le support, fermé de $\mathbb R^n$, ne change pas.

(ii) Régularité et signe. $x \mapsto 1 - |x|^2$ est polynomiale, et $\theta$ est de classe $C^\infty$ (Fonctions plateau, (i)) : $\tilde\rho$ l'est par composition. Elle est strictement positive exactement sur $B(0, 1)$, et paire. Tout point $x$ tel que $|x| = 1$ est limite des points $(1 - \frac1k)x$ de $B(0, 1)$, et $\bar B(0, 1)$ est fermée : le support est $\bar B(0, 1)$.

La constante. Sur $]0, +\infty[$, $\theta'(x) = \theta(x)/x^2 \geqslant 0$ (Fonctions plateau, (i), avec $P_1(u) = u^2$), et $\theta' = 0$ sur $]{-\infty}, 0[$ : $\theta$ est croissante (Signe de la dérivée, (i)). Donc $0 \leqslant \tilde\rho \leqslant \theta(1)$, et $\tilde\rho$ est nulle hors de $[-1, 1]^n$, d'où $c_n \leqslant 2^n\theta(1)$.

Comme $|x| \leqslant n\|x\|_\infty$ (Espaces métriques, (ii)), le cube $\{\|x\|_\infty < \frac1{2n}\}$ est contenu dans $B(0, \frac12)$, où $\tilde\rho \geqslant \theta(\frac34) > 0$. Ce cube a pour mesure $n^{-n}$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)), donc $c_n \geqslant \theta(\frac34)\,n^{-n} > 0$.

Dilatées. $\rho_\varepsilon$ est de classe $C^\infty$, positive, paire, de support $\bar B(0, \varepsilon)$. La formule du changement de variables (Changement de variables, (ii)), pour le difféomorphisme $y \mapsto \varepsilon y$ de $\mathbb R^n$, de jacobien $\varepsilon^n$, donne $$\begin{aligned} \int_{\mathbb R^n} \rho_\varepsilon(x)\,dx &= \int_{\mathbb R^n} \rho_\varepsilon(\varepsilon y)\,\varepsilon^n\,dy \\ &= \int_{\mathbb R^n} \rho = 1. \end{aligned}$$

Enfin $h_\varepsilon(s) = \varepsilon^{-n}c_n^{-1}\,\theta\big(1 - s^2/\varepsilon^2\big)$ est de classe $C^\infty$, décroissante sur $[0, +\infty[$ comme composée de la fonction croissante $\theta$ et d'une fonction décroissante, et nulle pour $s \geqslant \varepsilon$.

(iii) La fonction $\sigma$. Le dénominateur est strictement positif : $\theta(1 - t) > 0$ si $t < 1$, et $\theta(t) > 0$ si $t > 0$. Comme $t \mapsto 1/t$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ (preuve de Partition de l'unité, (iii)), $\sigma$ est de classe $C^\infty$. Elle est nulle pour $t \leqslant 0$, égale à $1$ pour $t \geqslant 1$, puisque $\theta(1 - t) = 0$, et $$\sigma'(t) = \frac{\theta'(t)\,\theta(1 - t) + \theta(t)\,\theta'(1 - t)}{(\theta(t) + \theta(1 - t))^2},$$ qui est positive, puisque $\theta$ et $\theta'$ le sont.

Une fonction bosse. La fonction $\tau(u) = \sigma(4 - 4u)\,\sigma(4 + 4u)$ est de classe $C^\infty$, à valeurs dans $[0, 1]$, égale à $1$ si $|u| \leqslant \frac34$ et nulle si $|u| \geqslant 1$.

Troncature. Si $K$ est vide, $\chi = 0$ convient. Sinon, soit $\delta(x) = \min\big(1, \inf_{a \notin O}\|x - a\|_\infty\big)$, et $\delta = 1$ si $O = \mathbb R^n$. Elle est $1$-lipschitzienne pour $\|\cdot\|_\infty$, et $B_\infty(x, \delta(x)) \subset O$ pour $x \in O$ : la preuve de Recouvrement par des cubes, (i), vaut pour tout ouvert. Elle atteint sur le compact $K$ un minimum $\delta_0 > 0$ (Compacts de ℝ, (iii)) ; posons $\eta = \delta_0/2$.

Pour $m \in {\mathbb Z^n}$, la fonction $g_m(x) = \prod_l \tau\big((x_l - \eta m_l)/\eta\big)$ est de classe $C^\infty$, à valeurs dans $[0, 1]$, égale à $1$ sur le cube $\{\|x - \eta m\|_\infty \leqslant \frac34\eta\}$ et nulle hors de $\{\|x - \eta m\|_\infty < \eta\}$. L'ensemble $M$ des $m$ tels que le cube $\{\|x - \eta m\|_\infty \leqslant \frac\eta2\}$ rencontre $K$ est fini, $K$ étant borné. On pose $$\chi = 1 - \prod_{m \in M}(1 - g_m),$$ de classe $C^\infty$ et à valeurs dans $[0, 1]$.

Pour $x \in K$, soit $m_l$ le plus grand entier tel que $m_l \leqslant \frac{x_l}\eta + \frac12$ : alors $\|x - \eta m\|_\infty \leqslant \frac\eta2$, donc $m \in M$, et $x$ appartient à l'ouvert $\{\|y - \eta m\|_\infty < \frac34\eta\}$, où $g_m = 1$ et $\chi = 1$. La réunion de ces ouverts, pour $m \in M$, contient $K$.

Hors du compact $F = \bigcup_{m \in M}\{\|y - \eta m\|_\infty \leqslant \eta\}$, tous les $g_m$ sont nuls, et $\chi = 0$. Si $y \in F$, il existe $m \in M$ et $x \in K$ tels que $\|y - \eta m\|_\infty \leqslant \eta$ et $\|x - \eta m\|_\infty \leqslant \frac\eta2$ ; alors $\|y - x\|_\infty \leqslant \frac32\eta < \delta_0 \leqslant \delta(x)$, et $y \in O$. Ainsi $\operatorname{supp}\chi \subset F \subset O$, et $\chi \in \mathcal D(O)$.

(iv) Compacts. Soit $K \subset \Omega$ compact non vide, et $\delta_0 > 0$ le minimum sur $K$ de la fonction $\delta$ de (iii), pour $O = \Omega$. Si $\varepsilon < \delta_0$, $x \in K$ et $|w - x| \leqslant \varepsilon$, alors $\|w - x\|_\infty \leqslant |w - x| < \delta(x)$ (Espaces métriques, (ii)), et $w \in \Omega$ : $K \subset \Omega_\varepsilon$.

Ouverture. Soit $x \in \Omega_\varepsilon$. La boule $K = \bar B(x, \varepsilon)$ est fermée et bornée, donc compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)), et contenue dans $\Omega$ ; soit $\delta_0$ comme ci-dessus. Si $|x' - x| < \delta_0$ et $|w - x'| \leqslant \varepsilon$, le point $z = x + (w - x')$ est dans $K$, et $\|w - z\|_\infty \leqslant |x' - x| < \delta(z)$ : $w \in \Omega$. Donc $B(x, \delta_0) \subset \Omega_\varepsilon$.

Somme. $K \times \bar B(0, \varepsilon)$ est fermé et borné dans $\mathbb R^{2n}$, donc compact, et son image par l'addition, linéaire donc continue, est compacte (Parties compactes, (iii)). Elle est contenue dans $\Omega$ par définition de $\Omega_\varepsilon$.