Régularité et caractérisation des fonctions harmoniques par la moyenne

(i) Le noyau en couches. La fonction $h_\varepsilon$ est de classe $C^1$, décroissante sur $[0, +\infty[$ et nulle sur $[\varepsilon, +\infty[$ (Fonctions test, (ii)). Par le théorème fondamental, pour tout $z$, $$h_\varepsilon(|z|) = \int_0^\varepsilon \big(-h'_\varepsilon(\tau)\big)\,\mathbf 1_{\{|z| < \tau\}}\,d\tau,$$ les deux membres valant $h_\varepsilon(|z|) - h_\varepsilon(\varepsilon)$ si $|z| < \varepsilon$, et $0$ sinon.

Fubini. Soit $x \in \Omega_\varepsilon$. La fonction $(\tau, y) \mapsto (-h'_\varepsilon(\tau))\,\mathbf 1_{\{|x - y| < \tau\}}\,u(y)$ est borélienne et bornée sur $[0, \varepsilon] \times \bar B(x, \varepsilon)$, nulle ailleurs, donc intégrable. Le théorème de Fubini (Tonelli, Fubini, (ii)) et la propriété de la moyenne donnent $$\begin{aligned} &(u * \rho_\varepsilon)(x) \\ &\quad = \int_0^\varepsilon \big(-h'_\varepsilon(\tau)\big)\Big(\int_{B(x, \tau)} u\Big)\,d\tau \\ &\quad = u(x)\int_0^\varepsilon \big(-h'_\varepsilon(\tau)\big)\,\lambda(B(x, \tau))\,d\tau, \end{aligned}$$ l'intégrale intérieure étant nulle pour $\tau = 0$. Le même calcul pour la fonction constante $1$, qui a évidemment la propriété de la moyenne, montre que la dernière intégrale vaut $\int \rho_\varepsilon(x - y)\,dy = 1$. Donc $u * \rho_\varepsilon = u$ sur $\Omega_\varepsilon$.

Régularité. Par le nœud Régularisation, (i), $u * \rho_\varepsilon$ est de classe $C^\infty$ sur $\Omega_\varepsilon$. Les ouverts $\Omega_\varepsilon$ recouvrent $\Omega$, chaque point étant un compact (Fonctions test, (iv)), et la classe $C^\infty$ est locale (Partition de l'unité, (i)).

(ii) Une fonction harmonique a la propriété de la moyenne (Propriété de la moyenne, (ii)). Réciproquement, si $u$ a la propriété de la moyenne, elle est de classe $C^\infty$ par (i), et la fonction $M$ du nœud Propriété de la moyenne, (i), est constante en chaque $x$. Si l'on avait $\Delta u(x) > 0$, la continuité donnerait $r_0 > 0$ tel que $\Delta u > 0$ sur $\bar B(x, r_0)$ ; pour $0 < r < r_0$, l'intégrande de $M'(r)$ serait strictement positive sur $B$, et $M'(r) > 0$, ce qui est absurde. De même si $\Delta u(x) < 0$.

Les dérivées partielles d'une fonction harmonique sont de classe $C^\infty$, et $\Delta(\partial_j u) = \partial_j(\Delta u) = 0$ par le théorème de Schwarz.

(iii) Soit $u_k \to u$ uniformément sur tout compact. La limite $u$ est continue. Si $\bar B(x, r) \subset \Omega$, $$\begin{aligned} |u(x) - m_{x,r}(u)| &\leqslant |u(x) - u_k(x)| \\ &\quad + m_{x,r}(|u_k - u|) \\ &\leqslant 2\sup_{\bar B(x, r)}|u_k - u|, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ : $u$ a la propriété de la moyenne, et (ii) conclut.