Fonctions harmoniques du plan et fonctions holomorphes

(i) Dérivées partielles. Le taux d'accroissement $\frac{f(z + h) - f(z)}h$ tend vers $f'(z)$ quand $h \to 0$ dans $\mathbb C$, donc aussi pour $h = t$ réel et pour $h = it$, $t$ réel : $\partial_x f = f'$ et $\partial_y f = i f'$. Ces dérivées sont continues, $f'$ étant holomorphe (Analyticité), donc continue (Dérivabilité complexe, (i)) : $P$ et $Q$ sont de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (i)).

Laplacien. Appliqué à $f'$, le même calcul donne $\partial_x^2 f = f''$ et $\partial_y^2 f = i \cdot i f'' = -f''$, et les dérivées croisées valent $if''$ : elles sont continues, $P$ et $Q$ sont de classe $C^2$, et $\Delta f = f'' - f'' = 0$, d'où $\Delta P = \Delta Q = 0$. Par récurrence, toutes les dérivées partielles de $f$ sont des multiples de dérivées $f^{(k)}$, continues : $P$ et $Q$ sont de classe $C^\infty$.

(ii) Une fonction holomorphe. La fonction $g = \partial_x u - i\,\partial_y u$ est de classe $C^1$. Par le théorème de Schwarz et $\Delta u = 0$, $$\begin{aligned} \partial_y g &= \partial_x\partial_y u - i\,\partial_y^2 u \\ &= \partial_x\partial_y u + i\,\partial_x^2 u = i\,\partial_x g. \end{aligned}$$ Pour $h = a + ib$, la différentielle de $g$ en $z$ est $a\,\partial_x g(z) + b\,\partial_y g(z) = h\,\partial_x g(z)$, et $g(z + h) = g(z) + h\,\partial_x g(z) + o(|h|)$ (Différentielle) : $g$ est holomorphe, de dérivée $\partial_x g$.

Une primitive. Par le théorème de Cauchy pour un ouvert convexe (Cauchy, ouverts convexes), $g$ a une primitive holomorphe $G = A + iB$. Par (i), $\partial_x G = G' = g$ et $\partial_y G = iG' = ig$, soit $$\begin{aligned} \partial_x A + i\,\partial_x B &= \partial_x u - i\,\partial_y u, \\ \partial_y A + i\,\partial_y B &= \partial_y u + i\,\partial_x u. \end{aligned}$$ Les parties réelles donnent $\partial_x(A - u) = \partial_y(A - u) = 0$ : $A - u$ est constante sur le convexe $U$, par les accroissements finis (Accroissements finis). Si $A - u = c$, $F = G - c$ convient.

(iii) $\ln|z| = \frac12\ln(x^2 + y^2)$ est harmonique (Fonctions harmoniques, (ii)). Si l'on avait $\ln|z| = \operatorname{Re} F$, avec $F = A + iB$ holomorphe sur $U$, les égalités $\partial_x F = F'$ et $\partial_y F = iF'$ de (i) donneraient $\partial_x B = -\partial_y A$, d'où $$F' = \partial_x A + i\,\partial_x B = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} = \frac1z.$$ L'intégrale de $F'$ sur le cercle unité serait nulle (Intégrale curviligne, (ii)), alors que celle de $\frac1z$ vaut $2i\pi$ (même nœud, (iii)).