Définition 1Équations de Laplace et de la chaleur

Fonctions harmoniques

Soit $\Omega$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ ; on garde les notations du nœud Fonctions test. Une fonction harmonique sur $\Omega$ est une fonction $u : \Omega \to {\mathbb R}$ de classe $C^2$ telle que ${\Delta} u = \sum_{i=1}^n \partial_i^2 u = 0.$

Énoncé

(i) Les fonctions harmoniques sur $\Omega$ forment un espace vectoriel. Si $u$ est harmonique sur $\Omega$ , $a \in \mathbb R^n$ , $r \neq 0$ et $Q$ une matrice orthogonale, la fonction $x \mapsto u(a + rQx)$ est harmonique sur l'ouvert $\{x : a + rQx \in \Omega\}$ .

(ii) Exemples. Les fonctions affines sont harmoniques sur $\mathbb R^n$ . Sur $\mathbb R^2$ , les fonctions $x^2 - y^2$ , $xy$ , $x^3 - 3xy^2$ et $e^x\cos y$ sont harmoniques ; la fonction $\ln(x^2 + y^2)$ l'est sur $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ , et $\frac1{|x|}$ sur $\mathbb R^3 \setminus \{0\}$ .

Démonstration

(i) La linéarité du laplacien donne la première affirmation. Soit $v(x) = u(a + rQx)$ , de classe $C^2$ par composition (Classe Cᵏ, (iii)). Par la règle de la chaîne, $\partial_i v(x) = r\sum_k Q_{ki}\,(\partial_k u)(a + rQx),$ $\begin{aligned} &\partial_i^2 v(x) \\ &\quad = r^2\sum_{k,l} Q_{ki}Q_{li}\,(\partial_k\partial_l u)(a + rQx). \end{aligned}$ Comme ${}^tQ\,Q = {I_n}$ , la matrice $Q$ est inversible d'inverse ${}^tQ$ , et $Q\,{}^tQ = I_n$ : $\sum_i Q_{ki}Q_{li}$ vaut $1$ si $k = l$ et $0$ sinon. La somme sur $i$ donne $\Delta v(x) = r^2\,(\Delta u)(a + rQx) = 0$ .

(ii) Pour une fonction affine, toutes les dérivées secondes sont nulles. On calcule $\Delta(x^2 - y^2) = 2 - 2$ , $\Delta(xy) = 0$ et $\Delta(x^3 - 3xy^2) = 6x - 6x$ . Comme $\cos'' = -\cos$ (Exponentielle, (iv)), $\Delta(e^x\cos y) = e^x\cos y - e^x\cos y = 0$ .

Pour $\ln(x^2 + y^2)$ (Puissances réelles), $\partial_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$ et $\partial_x^2 = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2},$ et $\partial_y^2$ est l'opposé, par symétrie. Le cas de $\frac1{|x|}$ est le nœud Solution élémentaire du laplacien, (i).

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Remarque

En dimension $1$ , une fonction harmonique sur un intervalle est affine, puisque $u'' = 0$ : la théorie ne devient riche qu'à partir de la dimension $2$ , où l'équation $\partial_x^2 u = -\partial_y^2 u$ laisse une infinité de solutions indépendantes, comme les parties réelles des polynômes $(x + iy)^k$ (nœud Harmoniques et holomorphes).

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier l'ouvert. La fonction $\frac1{|x|}$ est harmonique sur $\mathbb R^3 \setminus \{0\}$ , mais son laplacien au sens des distributions sur $\mathbb R^3$ est $-4\pi\delta$ (Solution élémentaire du laplacien, (ii)) : elle n'est pas harmonique sur $\mathbb R^3$ , et les théorèmes de ce chapitre ne s'appliquent qu'aux ouverts qui ne contiennent pas l'origine.

Repose sur

Solution élémentaire du laplacien dans ℝ³ et équation de Poisson

Sert à

Propriété de la moyenne Fonctions harmoniques du plan et fonctions holomorphes