Solution élémentaire du laplacien dans ℝ³ et équation de Poisson

(i) Intégrabilité. Par le nœud Image linéaire, (ii), appliqué à l'homothétie de rapport $r$, $\lambda(B(0, r)) = r^3\lambda(B(0, 1))$, et $\lambda(B(0, 1)) \leqslant 8$, la boule étant contenue dans $[-1, 1]^3$. Les couronnes $A_k = B(0, 2^{-k}) \setminus B(0, 2^{-k-1})$, $k \in \mathbb N$, sont disjointes, de réunion $B(0, 1) \setminus \{0\}$, et $\frac1{|x|} \leqslant 2^{k+1}$ sur $A_k$. Par convergence monotone (Convergence monotone), $$\begin{aligned} \int_{B(0, 1)}\frac{dx}{|x|} &\leqslant \sum_{k \geqslant 0} 2^{k+1}\,2^{-3k}\,\lambda(B(0, 1)) \\ &= \frac83\,\lambda(B(0, 1)). \end{aligned}$$ Hors de $B(0, 1)$, la fonction est majorée par $1$ : elle est intégrable sur tout compact.

Laplacien. Sur $\mathbb R^3 \setminus \{0\}$, $\frac1{|x|} = s(x)^{-1/2}$ avec $s(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 0$, et $t \mapsto t^{-1/2}$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ (Puissances réelles, (iv)). On calcule $$\begin{aligned} \partial_i\frac1{|x|} &= -\frac{x_i}{|x|^3}, \\ \partial_i^2\frac1{|x|} &= -\frac1{|x|^3} + \frac{3x_i^2}{|x|^5}, \end{aligned}$$ et la somme sur $i$ vaut $-\frac3{|x|^3} + \frac{3|x|^2}{|x|^5} = 0$.

(ii) Régularisées. $E_\varepsilon$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^3$, et le même calcul, avec $s(x) + \varepsilon^2$ au lieu de $s(x)$, donne $$\begin{aligned} \Delta E_\varepsilon(x) &= \frac{3\varepsilon^2}{4\pi\,(|x|^2 + \varepsilon^2)^{5/2}} = \varepsilon^{-3}\,\eta\Big(\frac x\varepsilon\Big), \\ \eta(z) &= \frac3{4\pi}\,(|z|^2 + 1)^{-5/2}, \end{aligned}$$ formule vérifiée par un calcul formel.

L'intégrale de $\eta$. Écrivons $\mathbb R^3 = \mathbb R^2 \times \mathbb R$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i) et (ii)) et appliquons le théorème de Tonelli (Tonelli, Fubini, (i)). Pour $a > 0$, la fonction $F(t) = \frac{t(2t^2 + 3a^2)}{3a^4(a^2 + t^2)^{3/2}}$ a pour dérivée $(a^2 + t^2)^{-5/2}$ et pour limites $\pm\frac2{3a^4}$ en $\pm\infty$ ; par le théorème fondamental et la convergence monotone sur $[-k, k]$, $\int_{\mathbb R}(a^2 + t^2)^{-5/2}\,dt = \frac4{3a^4}$. Avec $a^2 = |y|^2 + 1$ et les coordonnées polaires (Coordonnées polaires, (ii)), $$\begin{aligned} &\int_{\mathbb R^3}(|z|^2 + 1)^{-5/2}\,dz \\ &\quad = \int_{-\pi}^\pi\!\int_0^{+\infty}\frac{4r}{3(r^2 + 1)^2}\,dr\,d\theta \\ &\quad = 2\pi \cdot \frac43 \cdot \frac12 = \frac{4\pi}3, \end{aligned}$$ la fonction $-\frac1{2(r^2 + 1)}$ étant une primitive de $\frac r{(r^2 + 1)^2}$. Ainsi $\int\eta = 1$.

Passage à la limite. Soit $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R^3)$ et $\varepsilon = \frac1k$. Comme $|E_\varepsilon| \leqslant |E|$, localement intégrable, et que $E_\varepsilon \to E$ hors de $0$, la convergence dominée (Convergence dominée, (i)) donne $$\langle \Delta E, \varphi\rangle = \int E\,\Delta\varphi = \lim_k \int E_\varepsilon\,\Delta\varphi.$$ Par le nœud Dérivation, (ii), et le changement de variables $x = \varepsilon z$ (Changement de variables, (iii)), $$\begin{aligned} \int E_\varepsilon\,\Delta\varphi &= \int (\Delta E_\varepsilon)\,\varphi \\ &= \int_{\mathbb R^3}\eta(z)\,\varphi(\varepsilon z)\,dz, \end{aligned}$$ qui tend vers $\varphi(0)\int\eta = \varphi(0)$ par convergence dominée, avec le majorant $p_0(\varphi)\,\eta$.

(iii) Par le nœud Convolution des distributions, (iii), avec $\Omega = \mathbb R^3$, $T = E$ et une boule $\bar B(0, R)$ hors de laquelle $f$ est nulle, $E * f$ est de classe $C^\infty$, et $$\Delta(E * f) = (\Delta E) * f = \delta * f = f.$$ Comme $E$ est localement intégrable, $(E * f)(x) = \int E(y) f(x - y)\,dy$, et le changement de variable $y \mapsto x - y$ donne la formule annoncée.