Théorème 3Équations de Laplace et de la chaleur

Lemme de Weyl

On garde les notations du nœud Convolution des distributions.

Énoncé

Soit $T \in {\mathcal D'}(\Omega)$ telle que ${\Delta} T = 0$ . Il existe une fonction harmonique $u$ sur $\Omega$ telle que $T = T_u$ .

En particulier, si $f \in {L^1_{\mathrm{loc}}}(\Omega)$ vérifie $\int f\,\Delta\varphi = 0$ pour toute $\varphi \in {\mathcal D}(\Omega)$ , alors $f$ est égale presque partout à une fonction harmonique.

Démonstration

Les régularisées sont harmoniques. Pour $\varepsilon > 0$ , $T * \rho_\varepsilon$ est de classe $C^\infty$ sur $\Omega_\varepsilon$ , et $\Delta(T * \rho_\varepsilon) = (\Delta T) * \rho_\varepsilon = 0$ (Convolution des distributions, (iii)). Elle a donc la propriété de la moyenne sur l'ouvert $\Omega_\varepsilon$ (Régularité des fonctions harmoniques, (ii)), et, pour $\eta > 0$ , $(T * \rho_\varepsilon) * \rho_\eta = T * \rho_\varepsilon$ sur $(\Omega_\varepsilon)_\eta$ , qui contient $\Omega_{\varepsilon + \eta}$ (Régularité des fonctions harmoniques, (i)).

Échange des noyaux. Par l'associativité (Convolution des distributions, (iv)) et la commutativité $\rho_\varepsilon * \rho_\eta = \rho_\eta * \rho_\varepsilon$ (Régularisation), on a, sur $\Omega_{\varepsilon + \eta}$ , $\begin{aligned} T * \rho_\varepsilon &= T * (\rho_\varepsilon * \rho_\eta) = T * (\rho_\eta * \rho_\varepsilon) \\ &= (T * \rho_\eta) * \rho_\varepsilon. \end{aligned}$

Passage à la limite. Fixons $\eta > 0$ , et soit $\psi \in \mathcal D(\Omega_{2\eta})$ . Pour $\varepsilon = \frac1k < \eta$ , le support de $\psi$ est contenu dans $\Omega_{\varepsilon + \eta}$ , et $\langle T * \rho_\varepsilon, \psi\rangle = \int \big((T * \rho_\eta) * \rho_\varepsilon\big)\,\psi.$ Le premier membre tend vers $\langle T, \psi\rangle$ (Convolution des distributions, (v)). Au second, la fonction continue $v = T * \rho_\eta$ sur $\Omega_\eta$ est régularisée : $v * \rho_\varepsilon \to v$ uniformément sur le compact $\operatorname{supp}\psi$ (Régularisation, (ii)), et le second membre tend vers $\int v\,\psi$ . Ainsi $\langle T, \psi\rangle = \int u_\eta\,\psi$ , où $u_\eta = T * \rho_\eta$ est harmonique sur $\Omega_\eta$ .

Recollement. Pour $\eta' < \eta$ , $u_\eta$ et $u_{\eta'}$ définissent la même distribution sur $\Omega_{2\eta}$ ; continues, elles y coïncident (Exemples de distributions, (ii)). La fonction $u$ , égale à $u_\eta$ sur $\Omega_{2\eta}$ pour tout $\eta = \frac1j$ , est donc bien définie, harmonique, puisqu'elle l'est sur chaque ouvert $\Omega_{2\eta}$ , et ces ouverts recouvrent $\Omega$ . Toute $\psi \in \mathcal D(\Omega)$ a son support dans un $\Omega_{2\eta}$ (Fonctions test, (iv)), et $\langle T, \psi\rangle = \int u\,\psi$ .

La seconde affirmation est le cas $T = T_f$ : $T_f = T_u$ entraîne $f = u$ presque partout (Exemples de distributions, (ii)).

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Remarque

Le lemme figure dans un article de Hermann Weyl, The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J. 7 (1940), p. 411-444, où il est le lemme 2. Weyl y cherchait les solutions de l'équation de Laplace comme projections orthogonales dans un espace de Hilbert ; il obtient ainsi des solutions « faibles », et le lemme dit qu'elles sont de vraies fonctions harmoniques.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de conclure que $f$ elle-même est harmonique. Elle n'est qu'égale presque partout à une fonction harmonique : l'indicatrice d'un point, ajoutée à une fonction harmonique, définit la même distribution sans être continue. Le lemme choisit, dans la classe de $f$ , le seul représentant régulier.

Remarque

Le même énoncé est faux pour l'équation des ondes $\partial_t^2 u = \partial_x^2 u$ , dont toute fonction $f(x - t)$ , même discontinue, est solution au sens des distributions. La propriété du laplacien qui fait marcher la preuve est la propriété de la moyenne, que l'opérateur des ondes n'a pas.

Repose sur

Régularité et caractérisation des fonctions harmoniques par la moyenne

Sert à

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