ChapitreDistributions et EDP

Équations de Laplace et de la chaleur

Une fonction harmonique est une fonction de classe $C^2$ de laplacien nul. Le chapitre établit la propriété de la moyenne sur les boules, sans mesure de surface : la dérivée de la moyenne en fonction du rayon s'écrit comme l'intégrale d'une divergence d'un champ nul sur la sphère. Il en déduit la régularité $C^\infty$, par une convolution avec le noyau radial, le principe du maximum et l'unicité pour le problème de Dirichlet, le théorème de Liouville, et le lemme de Weyl : une distribution de laplacien nul est une fonction harmonique.

En dimension $2$, les fonctions harmoniques sont les parties réelles des fonctions holomorphes sur un convexe ; le noyau de Poisson résout le problème de Dirichlet sur le disque pour une donnée continue.

L'équation de la chaleur $\partial_t u = \partial_x^2 u$ sur $\mathbb R$ se résout, pour une donnée initiale continue et bornée, par convolution avec le noyau gaussien, et le principe du maximum sur un rectangle en donne l'unicité parmi les solutions bornées. Aucune forme du choix n'intervient en dehors de celle que demande la mesure de Lebesgue.