Problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur

(i) Domination. Appliquons le nœud Intégrales à paramètre, (i), avec $W = \,]0, +\infty[ \times \mathbb R$, $A = \mathbb R$, $k = \infty$ et $h((t, x), y) = G(t, x - y)\,f(y)$. Une boule fermée $L$ de $W$ est contenue dans un rectangle $[t_0, t_1] \times [-X, X]$ avec $t_0 > 0$. Par le nœud Noyau de la chaleur, (iv), chaque dérivée $\partial^\beta h$ est majorée, pour $(t, x) \in L$, par $MC(1 + |x - y|)^N\exp\big(-\frac{(x - y)^2}{4t_1}\big)$, avec $\beta = (j, l)$ et $N = 2j + l$.

Pour $|y| \geqslant 2X$, on a $|x - y| \geqslant \frac{|y|}2$ et $1 + |x - y| \leqslant 1 + 2|y|$ ; pour $|y| < 2X$, l'expression est au plus $(1 + 3X)^N$. Comme $e^s \geqslant \frac{s^m}{m!}$ pour $s \geqslant 0$, tous les termes de la série de l'exponentielle étant positifs (Exponentielle), on a $\exp(-\frac{y^2}{16t_1}) \leqslant m!\,(16t_1)^my^{-2m}$. Avec $2m \geqslant N + 2$, la fonction $$\begin{aligned} \frac{g(y)}{MC} = {}&(1 + 3X)^N\,\mathbf 1_{\{|y| < 2X\}} \\ &+ (1 + 2|y|)^N e^{-y^2/(16t_1)} \end{aligned}$$ est majorée par une constante fois $y^{-2}$ pour $|y| \geqslant 1$, donc intégrable, puisque $\int_1^k y^{-2}\,dy = 1 - \frac1k$ et par convergence monotone.

Conclusion. $u$ est de classe $C^\infty$, et $$\begin{aligned} &\partial_t u - \partial_x^2 u \\ &\ = \int (\partial_t G - \partial_x^2 G)(t, x - y)\,f(y)\,dy \\ &\ = 0. \end{aligned}$$ Enfin $|u(t, x)| \leqslant M\int G(t, x - y)\,dy = M$, par le nœud Noyau de la chaleur, (ii), et l'invariance de $\lambda$ par translation et par $y \mapsto -y$.

(ii) Le changement de variable $y \mapsto x - y$ et $\int G(t, \cdot) = 1$ donnent $$\begin{aligned} &u(t, x) - f(x_0) \\ &\quad = \int_{\mathbb R} G(t, y)\big(f(x - y) - f(x_0)\big)\,dy. \end{aligned}$$ Soit $\varepsilon > 0$, et $\eta > 0$ tel que $|f(z) - f(x_0)| < \varepsilon$ pour $|z - x_0| < \eta$. Si $|x - x_0| < \frac\eta2$ et $|y| < \frac\eta2$, alors $|x - y - x_0| < \eta$ : cette partie de l'intégrale est majorée par $\varepsilon\int G = \varepsilon$. Le reste est majoré par $2M\int_{|y| \geqslant \eta/2} G(t, y)\,dy$, qui est $< \varepsilon$ pour $t$ assez petit (Noyau de la chaleur, (iii)). Ainsi $|u(t, x) - f(x_0)| < 2\varepsilon$ dès que $|x - x_0| < \frac\eta2$ et que $t$ est assez petit. La continuité en un point où $t > 0$ découle de (i).

(iii) Il existe $y_0$ tel que $f(y_0) > 0$, donc, par continuité, un intervalle $[y_0 - \eta, y_0 + \eta]$ où $f \geqslant \frac{f(y_0)}2$. Comme $G > 0$ est continue, l'intégrande est positive, et minorée sur cet intervalle par une constante strictement positive : $u(t, x) > 0$.