Intégrales à paramètre de classe Cᵏ et intégration par parties

(i) Continuité. Soit $L$ une boule fermée de $W$, et $p, p' \in L$. Le segment $[p, p']$ est contenu dans $L$, qui est convexe. Pour $y \in A$, la fonction $s \mapsto h\big(p + s(p' - p), y\big)$ est de classe $C^1$ sur $[0, 1]$, de dérivée $\sum_j (p'_j - p_j)\,\partial_j h\big(p + s(p' - p), y\big)$, par la règle de la chaîne (Différentielle, (iv)).

Comme $|p'_j - p_j| \leqslant |p' - p|$, l'inégalité des accroissements finis (Inégalité des accroissements finis, (ii)) donne $$|h(p', y) - h(p, y)| \leqslant |p' - p|\sum_{j=1}^d g_{L,e_j}(y).$$ Les fonctions $h(p, \cdot)$ sont intégrables, dominées par $g_{L,0}$, et l'intégration donne $|H(p') - H(p)| \leqslant C_L\,|p' - p|$, avec $C_L = \sum_j \int_A g_{L,e_j}$. Tout point de $W$ est intérieur à une boule fermée de $W$ : $H$ est continue.

Dérivées partielles. Supposons $k \geqslant 1$. Soit $p \in W$ et $L = \bar B(p, r)$ une boule fermée de $W$. Pour $0 < |s| \leqslant r$, la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ (Taylor-Lagrange), appliquée à $s \mapsto h(p + se_j, y)$, de classe $C^2$, donne $$\begin{aligned} &\big|h(p + se_j, y) - h(p, y) - s\,\partial_j h(p, y)\big| \\ &\quad \leqslant \frac{s^2}{2}\,g_{L,2e_j}(y). \end{aligned}$$ En intégrant, on obtient $$\begin{aligned} &\Big|\frac{H(p + se_j) - H(p)}{s} - \int_A \partial_j h(p, y)\,dy\Big| \\ &\quad \leqslant \frac{|s|}2\int_A g_{L,2e_j}, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ : $\partial_j H(p)$ existe et vaut $\int_A \partial_j h(p, y)\,dy$.

Récurrence. La fonction $\partial_j h$ vérifie (a), (b) et (c) avec $k - 1$ au lieu de $k$, ses dérivées d'ordre $\leqslant k$ étant des dérivées de $h$ d'ordre $\leqslant k + 1$. Par le premier point, les $\partial_j H$ sont continues, et $H$ est de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (i)). Par récurrence sur $k$, chaque $\partial_j H$ est de classe $C^{k-1}$, avec la formule annoncée ; les composantes de $dH$ étant les $\partial_j H$, $H$ est de classe $C^k$. Pour $k = \infty$, on applique ce qui précède à chaque entier.

(ii) Prolongement. Prolongée par $0$ hors de $\Omega$, $u$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R^n$ : elle l'est sur l'ouvert $\Omega$ et sur l'ouvert $\mathbb R^n \setminus \operatorname{supp} u$, qui recouvrent $\mathbb R^n$, et la différentiabilité comme la continuité de la différentielle sont locales (preuve de Partition de l'unité, (i), qui traite chaque classe $C^k$). Soit $R$ tel que $\operatorname{supp} u \subset \,]{-R}, R[^n$, si bien que $u$ est nulle aux points dont une coordonnée vaut $\pm R$.

Réduction à $j = n$. Soit $\sigma$ la transposition de $j$ et $n$, et $P_\sigma$ la permutation des coordonnées du nœud Lebesgue sur ℝⁿ, (iii). La fonction $v = u \circ P_\sigma$ est de classe $C^1$ à support compact, et $\partial_n v = (\partial_j u) \circ P_\sigma$. La formule du changement de variables (Changement de variables, (iii)), pour l'application linéaire $P_\sigma$, de déterminant $\pm1$, donne $\int \partial_j u = \int \partial_n v$.

Fubini. Pour $n = 1$, $\int_{-R}^R u' = u(R) - u(-R) = 0$ par le théorème fondamental et le nœud Riemann et Lebesgue. Pour $n \geqslant 2$, $\partial_n v$ est continue, bornée et nulle hors de $[-R, R]^n$, donc intégrable. Le théorème de Fubini (Tonelli, Fubini, (ii)), sur $\mathbb R^n = \mathbb R^{n-1} \times \mathbb R$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i) et (ii)), donne $$\int_{\mathbb R^n} \partial_n v = \int_{\mathbb R^{n-1}}\Big(\int_{-R}^R \partial_n v(x', s)\,ds\Big)dx',$$ et l'intégrale intérieure vaut $v(x', R) - v(x', -R) = 0$.

Conséquence. La fonction $u = f\varphi$ est de classe $C^1$, de support contenu dans celui de $\varphi$, et $\partial_j u = (\partial_j f)\varphi + f\,\partial_j\varphi$.