Corollaire 2Cohomologie de de Rham

Formule de Green-Riemann et théorème de la divergence

Énoncé

(i) Green-Riemann sur un rectangle. Soit $R = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2]$ et $P$ , $Q$ deux fonctions de classe $C^\infty$ sur un ouvert de ${\mathbb R^2}$ contenant $R$ . Alors $\begin{aligned} &\int_R (\partial_x Q - \partial_y P) \\ &\quad = \int_{a_1}^{b_1} P(x, a_2)\,dx \\ &\qquad + \int_{a_2}^{b_2} Q(b_1, y)\,dy \\ &\qquad - \int_{a_1}^{b_1} P(x, b_2)\,dx \\ &\qquad - \int_{a_2}^{b_2} Q(a_1, y)\,dy. \end{aligned}$ Le second membre est $\int_{\partial \alpha_R} (P\,dx + Q\,dy)$ , intégrale le long du bord de $R$ parcouru dans le sens direct, où $\alpha_R$ est le cube affine du nœud Intégrales itérées, (iii).

(ii) Domaine image d'un carré. Soit $c$ un cube singulier lisse de dimension $2$ d'un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$ , prolongé par $\tilde c$ , et $P$ , $Q$ de classe $C^\infty$ sur $U$ . Notons $\det d\tilde c = \partial_s \tilde c_1\,\partial_t \tilde c_2 - \partial_t \tilde c_1\,\partial_s \tilde c_2$ . Alors $\begin{aligned} &\int_{I^2} \big((\partial_x Q - \partial_y P) \circ c\big)\,\det d\tilde c \\ &\quad = \int_{\partial c} (P\,dx + Q\,dy). \end{aligned}$ En particulier, $\int_{I^2} \det d\tilde c = \int_{\partial c} x\,dy = -\int_{\partial c} y\,dx.$

(iii) Divergence sur un pavé. Soit $K = \prod_{i=1}^n [a_i, b_i]$ un pavé et $F = (F_1, \dots, F_n)$ de classe $C^\infty$ sur un ouvert contenant $K$ , de divergence $\operatorname{div} F = \sum_i \partial_i F_i$ . Notons $K'_i = \prod_{l \neq i} [a_l, b_l]$ et $\iota_{i,s}(y) = (y_1, \dots, y_{i-1}, s, y_i, \dots, y_{n-1})$ , comme au nœud Fubini pour les fonctions continues, (iii). Alors $\begin{aligned} &\int_K \operatorname{div} F \\ &\quad = \sum_{i=1}^n \int_{K'_i} \big(F_i \circ \iota_{i,b_i} - F_i \circ \iota_{i,a_i}\big). \end{aligned}$ Pour $n = 3$ , le second membre est le flux sortant de $F$ à travers les six faces du pavé.

Démonstration

(iii) Posons $\omega = \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} F_i\,dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_n$ ; pour $n = 1$ , c'est la fonction $F_1$ . Comme dans la preuve de la formule de Stokes (Formule de Stokes), ramener $dx_i$ à sa place coûte $(-1)^{i-1}$ , et $d\omega = \Big(\sum_i \partial_i F_i\Big)\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n.$

Intérieur. L'application affine $\alpha_K$ (Intégrales itérées, (iii)), restreinte à l'image réciproque de l'ouvert de définition de $F$ , prolonge un cube singulier lisse de dimension $n$ . Comme $\alpha_K^*(dx_l) = (b_l - a_l)\,dt_l$ , on a $\alpha_K^*(dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n) = v(K)\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_n$ , et $\begin{aligned} \int_{\alpha_K} d\omega &= v(K)\int_{I^n} (\operatorname{div} F) \circ \alpha_K \\ &= \int_K \operatorname{div} F. \end{aligned}$

Faces. Sur la face $\alpha_K \circ \iota_{l,\varepsilon}$ , la coordonnée $l$ est constante, et l'image réciproque de $dx_l$ est nulle : seul subsiste le terme $i = l$ de $\omega$ . Or $\alpha_K \circ \iota_{i,\varepsilon} = \iota_{i,s} \circ \alpha_{K'_i}$ , avec $s = a_i$ si $\varepsilon = 0$ et $s = b_i$ si $\varepsilon = 1$ , et l'image réciproque de $dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_n$ est $v(K'_i)\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_{n-1}$ .

Le même changement de variable affine, sur $K'_i$ , donne $\int_{\alpha_K \circ \iota_{i,\varepsilon}} \omega = (-1)^{i-1}\int_{K'_i} F_i \circ \iota_{i,s}.$ Avec le signe $(-1)^{i+\varepsilon}$ du bord, le facteur total est $(-1)^{\varepsilon+1}$ : $+$ pour la face $x_i = b_i$ , $-$ pour la face $x_i = a_i$ . La formule de Stokes, $\int_{\alpha_K} d\omega = \int_{\partial\alpha_K} \omega$ , est l'égalité annoncée ; pour $n = 1$ , c'est le théorème fondamental.

(i) C'est (iii) pour $n = 2$ et $F = (Q, -P)$ , dont la divergence est $\partial_x Q - \partial_y P$ . La forme $\omega$ de la preuve de (iii) est alors $Q\,dy + P\,dx$ , et la formule de Stokes identifie le second membre à $\int_{\partial\alpha_R} (P\,dx + Q\,dy)$ .

(ii) Pour $\omega = P\,dx + Q\,dy$ , $d\omega = (\partial_x Q - \partial_y P)\,dx \wedge dy$ , et le nœud Intégrale sur une chaîne, (i), donne $\tilde c^*(dx \wedge dy) = \det d\tilde c\;ds \wedge dt$ . La formule de Stokes conclut. Pour $P = 0$ et $Q = x$ , ou pour $P = -y$ et $Q = 0$ , on a $d\omega = dx \wedge dy$ .

□

Remarque

Le cube $c(s, t) = \big(s, t(1 + s^2)\big)$ envoie le carré sur le domaine $D$ situé entre l'axe des $x$ et l'arc de parabole $y = 1 + x^2$ , pour $0 \leqslant x \leqslant 1$ . Son jacobien vaut $1 + s^2$ , et $\int_{I^2} (1 + s^2) = \frac43$ , qui est aussi $\int_0^1 (1 + x^2)\,dx$ , l'aire de $D$ au sens de l'intégrale de Riemann.

Par le bord, $\int_{\partial c} x\,dy$ ne reçoit que la contribution $+2$ du côté droit $c(1, t) = (1, 2t)$ et $-\frac23$ de l'arc $c(s, 1) = (s, 1 + s^2)$ , sur lequel $x\,dy = 2s^2\,ds$ ; les deux autres côtés donnent $0$ . On retrouve $2 - \frac23 = \frac43$ : l'aire a été calculée sans regarder l'intérieur du domaine. Ces valeurs ont été vérifiées par un calcul formel.

Le domaine

D

, image du carré par

c(s, t) = (s, t(1 + s^2))

, avec les images des segments

s = \frac14, \frac12, \frac34

t = \frac14, \frac12, \frac34

, en gris. Le bord

\partial c

, en rouge, fait le tour de

D

dans le sens direct : le bas et le côté droit dans le sens de

s

et de

t

croissants, l'arc de parabole et le côté gauche à rebours. Pour la forme

x\,dy

, seuls le côté droit et l'arc contribuent, pour

2

-\frac23

Remarque

L'erreur la plus répandue est de parcourir les quatre côtés dans le sens des coordonnées croissantes, en oubliant les signes $(-1)^{i+\varepsilon}$ . Dans l'exemple précédent, on trouverait $2 + \frac23 = \frac83$ au lieu de $\frac43$ . Ce sont les signes du bord qui font des quatre côtés un contour fermé, parcouru d'un seul tenant.

Remarque

Lorsque $c$ est un difféomorphisme de jacobien positif de l'intérieur du carré sur son image, le premier membre de (ii) est l'intégrale de $\partial_x Q - \partial_y P$ sur le domaine $c(I^2)$ , au sens de la mesure, par la formule du changement de variables (Changement de variables), qui n'est pas un ancêtre de cette branche. En particulier, $\int_{\partial c} x\,dy$ est alors l'aire du domaine ; c'est le principe du planimètre, instrument qui mesure une aire en suivant son contour. Pour un domaine qui est une variété compacte à bord du plan, comme un disque, la formule de Green-Riemann est le cas $n = 2$ de la formule de Stokes sur une variété (Stokes sur une variété), dont la première remarque traite le disque.

Remarque

Sur $K = [0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ , le champ $F = (xy, yz, zx)$ a pour divergence $x + y + z$ , d'intégrale $18$ : le volume $6$ multiplié par la valeur $3$ de la divergence au centre, puisqu'elle est affine. Le flux sort par les trois faces $x = 1$ , $y = 2$ et $z = 3$ , pour $6$ , $9$ et $3$ , et il est nul à travers les trois autres, où la composante normale s'annule. La somme vaut bien $18$ .

La divergence est celle du théorème de Liouville (Liouville) : un champ de divergence nulle a un flux total nul à travers le bord de tout pavé, ce qui est la forme intégrale de la conservation du volume par son flot.

Remarque

La formule plane apparaît sans démonstration dans une note de Cauchy aux Comptes rendus (1846), puis, démontrée, dans la thèse de Riemann (1851) ; George Green avait établi en 1828, dans un Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism publié à compte d'auteur, une identité pour les fonctions de trois variables sur un solide. Le théorème de la divergence a été présenté par Ostrogradski à Paris en 1826, dans un manuscrit, et publié en 1831 à Saint-Pétersbourg (V. J. Katz, The History of Stokes' Theorem, Mathematics Magazine 52, 1979).

Repose sur

Formule de Stokes pour les chaînes cubiques

Sert à

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