Proposition 3Cohomologie de de Rham

Intégrale d'une forme sur une chaîne cubique

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $\omega$ une forme différentielle de degré $k \geqslant 1$ sur $U$ , et $c$ un cube singulier lisse de dimension $k$ de $U$ , prolongé par $\tilde c : W \to U$ (Cubes singuliers).

L'image réciproque $\tilde c^*\omega$ (Formes différentielles) est une forme de degré $k$ sur l'ouvert $W$ de $\mathbb R^k$ ; elle s'écrit $g\,dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_k$ , avec $g$ de classe $C^\infty$ sur $W$ . On pose $\int_c \omega = \int_{I^k} g,$ intégrale itérée du nœud Intégrales itérées.

Pour $k = 0$ , $\omega$ est une fonction $f$ , $c$ est un point, et $\int_c f = f(c)$ . On prolonge $c \mapsto \int_c \omega$ en un morphisme $Q_k(U) \to {\mathbb R}$ , noté $z \mapsto \int_z \omega$ (Complexes de chaînes, (i)).

Énoncé

(i) Si $\omega = \sum_J a_J\,dx_J$ , la somme portant sur les suites $J = (j_1 < \cdots < j_k)$ , $g = \sum_J (a_J \circ \tilde c)\,\det\big(\partial_r \tilde c_{j_s}\big)_{1 \leqslant s, r \leqslant k}.$ La restriction de $g$ à $I^k$ ne dépend pas du prolongement $\tilde c$ : l'intégrale est bien définie.

(ii) $\int_z \omega$ est linéaire en $\omega$ et en $z$ .

(iii) Pour $k = 1$ , $\int_c \omega = \int_0^1 \omega_{c(t)}\big(c'(t)\big)\,dt$ : c'est l'intégrale du nœud Intégrale d'une 1-forme le long du chemin $c$ , de classe $C^1$ .

(iv) Si $\varphi : U \to V$ est de classe $C^\infty$ , où $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$ , et si $\eta$ est une forme de degré $k$ sur $V$ , alors $\int_{\varphi_\# z} \eta = \int_z \varphi^*\eta$ pour toute chaîne $z \in Q_k(U)$ .

(v) Si $c$ est dégénéré, c'est-à-dire ne dépend pas de l'une des variables $t_i$ sur $I^k$ , alors $\int_c \omega = 0$ .

Démonstration

(i) Par Formes différentielles, (iii), $\tilde c^*(a_J\,dx_J) = (a_J \circ \tilde c)\,d\tilde c_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\tilde c_{j_k}$ , avec $d\tilde c_j = \sum_r \partial_r \tilde c_j\,dt_r$ . Le coefficient de $dt_1 \wedge \cdots \wedge dt_k$ est la valeur de cette forme sur la base canonique (Algèbre extérieure, (i)), qui est le déterminant annoncé (même nœud, (ii)).

Indépendance. En un point $x$ du cube ouvert $]0, 1[^k$ , la dérivée partielle $\partial_r \tilde c(x)$ est la limite de $\frac{c(x + se_r) - c(x)}{s}$ quand $s \to 0$ , et $x + se_r$ reste dans $]0, 1[^k$ pour $s$ petit : elle ne dépend que de $c$ . Il en va donc de même de $g(x)$ .

Tout point $p$ de $I^k$ est limite de la suite $p_m = \big(1 - \frac1m\big)p + \frac1{2m}(1, \dots, 1)$ , dont les termes, pour $m \geqslant 2$ , ont leurs coordonnées dans $\big[\frac1{2m}, 1 - \frac1{2m}\big]$ , donc sont dans $]0, 1[^k$ . Par continuité de $g$ , $g(p)$ est la limite des $g(p_m)$ et ne dépend que de $c$ . L'intégrale itérée ne dépendant que des valeurs sur $I^k$ (Intégrales itérées, (i)), elle est bien définie.

(ii) L'image réciproque $\tilde c^*$ est linéaire, ainsi que l'intégrale itérée (Intégrales itérées, (ii)) ; la linéarité en $z$ vient de la définition.

(iii) Pour $k = 1$ , (i) donne $g(t) = \sum_j a_j(c(t))\,c_j'(t) = \omega_{c(t)}(c'(t))$ pour $t \in [0, 1]$ , et $c$ , restriction d'une application $C^\infty$ , est de classe $C^1$ . L'intégrale itérée sur $I^1$ est l'intégrale de Riemann sur $[0, 1]$ .

(iv) Pour un cube $c$ prolongé par $\tilde c$ , $\varphi \circ \tilde c$ prolonge $\varphi \circ c$ , et $(\varphi \circ \tilde c)^*\eta = \tilde c^*(\varphi^*\eta)$ (Formes différentielles, (iii)) : les deux intégrales ont le même coefficient $g$ . Pour $k = 0$ , $\eta(\varphi(c)) = (\varphi^*\eta)(c)$ , puisque $\varphi^*\eta = \eta \circ \varphi$ . On conclut par linéarité.

(v) Si $c$ ne dépend pas de $t_i$ , la dérivée partielle $\partial_i \tilde c$ est nulle sur $]0, 1[^k$ , par le calcul de l'indépendance. La colonne d'indice $i$ de chaque déterminant de (i) est nulle : $g = 0$ sur $]0, 1[^k$ , donc sur $I^k$ par continuité.

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Remarque

L'intégrale dépend de la paramétrisation par son orientation. Remplacer $c$ par $c \circ \rho$ , où $\rho(t) = (1 - t_1, t_2, \dots, t_k)$ , change $\tilde c^*\omega$ en $\rho^*(\tilde c^*\omega)$ , dont le coefficient est $-g \circ \rho$ . Dans l'intégration en $t_1$ , qui vient en premier, $\int_0^1 \varphi(1 - u)\,du = \int_0^1 \varphi$ par le même argument qu'au nœud Intégrales itérées, (iii) : l'intégrale change de signe.

En revanche, l'invariance par un difféomorphisme quelconque $\rho$ de $I^k$ sur lui-même, de jacobien positif, demande la formule du changement de variables. Elle est démontrée plus loin dans cette théorie, au nœud Invariance sur un cube, à partir d'une formule du changement de variables pour l'intégrale de Riemann des fonctions continues à support compact (Changement de variables), qui ne demande pas la théorie de la mesure. Pour $k = 1$ , c'est la règle de substitution, qui découle du théorème fondamental.

Remarque

Pour une forme fermée de degré $1$ et un cube lisse $c$ de dimension $1$ , l'intégrale de (iii) est aussi celle du nœud Intégrale le long d'un chemin continu, (ii) : les deux constructions s'accordent sur les chemins lisses.

Elles ne font pas le même travail. Celle du nœud Intégration sur les chaînes intègre des formes fermées sur des chemins seulement continus, grâce aux primitives locales ; celle-ci intègre des formes quelconques, de tout degré, mais seulement sur des cubes lisses, puisqu'elle dérive $\tilde c$ . L'erreur à éviter est de chercher à intégrer une forme qui n'est pas fermée le long d'un chemin seulement continu : aucune des deux définitions ne s'applique.

Remarque

Le point (v) traduit qu'un cube dégénéré n'a pas de volume de dimension $k$ : son image est balayée par une famille de dimension au plus $k - 1$ , et la forme $\tilde c^*\omega$ , de degré $k$ , s'y annule.

Repose sur

Intégrale itérée d'une fonction continue sur un pavé Cubes singuliers lisses, chaînes cubiques et leur bord Géométrie différentielle

Sert à

Formule de Stokes pour les chaînes cubiques