Définition 1Cohomologie de de Rham

Intégrale d'une forme fermée le long d'un chemin continu

Soit $\gamma : [a, b] \to U$ continu, avec $a < b$ . Une subdivision adaptée est une suite $a = s_0 < s_1 < \cdots < s_m = b$ et des boules $B_1, \dots, B_m$ contenues dans $U$ , munies de primitives $f_1, \dots, f_m$ de $\omega$ (Primitives locales), telles que $\gamma([s_{k-1}, s_k]) \subset B_k$ . On pose alors $\int_\gamma \omega = \sum_{k=1}^m \Big(f_k\big(\gamma(s_k)\big) - f_k\big(\gamma(s_{k-1})\big)\Big).$

Énoncé

(i) Il existe des subdivisions adaptées, et la somme ne dépend ni de la subdivision, ni des boules, ni des primitives choisies.

(ii) Si $\gamma$ est de classe $C^1$ par morceaux, $\int_\gamma \omega$ coïncide avec l'intégrale du nœud Intégrale d'une 1-forme.

(iii) Chasles. Pour $a < c < b$ , $\int_\gamma \omega = \int_{\gamma|_{[a,c]}} \omega + \int_{\gamma|_{[c,b]}} \omega$ . L'intégrale est linéaire en $\omega$ , ne change pas par reparamétrage affine croissant de $[a, b]$ , change de signe par reparamétrage affine décroissant, et vaut $0$ pour un chemin constant.

(iv) Si $\omega = df$ sur $U$ , alors $\int_\gamma \omega = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$ .

Démonstration

(i) Existence. Les images réciproques par $\gamma$ des boules contenues dans $U$ forment un recouvrement ouvert du compact $[a, b]$ (L'espace ℝⁿ, (iii)) ; soit $\eta$ un nombre de Lebesgue (Nombre de Lebesgue). Une subdivision de pas $< \eta$ convient : chaque $[s_{k-1}, s_k]$ , de diamètre $< \eta$ , est contenu dans l'image réciproque d'une boule $B_k$ , qui a une primitive par Primitives locales, (i).

Indépendance des primitives et des boules. Si, sur un même intervalle $[s_{k-1}, s_k]$ , on remplace $(B_k, f_k)$ par $(B'_k, f'_k)$ avec $\gamma([s_{k-1}, s_k]) \subset B'_k$ , les deux extrémités sont dans $B_k \cap B'_k$ , où $f_k - f'_k$ est constante (Primitives locales, (ii)) : le terme correspondant ne change pas.

Indépendance de la subdivision. Insérer un point $s$ dans $]s_{k-1}, s_k[$ , en gardant $(B_k, f_k)$ sur les deux morceaux, ne change pas la somme, qui est télescopique sur ces deux morceaux. Deux subdivisions adaptées ont une subdivision commune plus fine, obtenue en réunissant leurs points ; chaque morceau de celle-ci est contenu dans un morceau de chacune, et peut donc recevoir la boule de l'une ou de l'autre. Par insertions successives, puis changement de boules, les deux sommes sont égales à celle de la subdivision commune.

(ii) Sur $[s_{k-1}, s_k]$ , $\omega = df_k$ , et l'intégrale du nœud Intégrale d'une 1-forme, (i), de $df_k$ le long de ce morceau vaut $f_k(\gamma(s_k)) - f_k(\gamma(s_{k-1}))$ ; on somme, l'intégrale d'un chemin $C^1$ par morceaux étant additive par la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (iii)).

(iii) Une subdivision adaptée contenant $c$ se coupe en deux subdivisions adaptées de $[a, c]$ et de $[c, b]$ .

Pour deux formes fermées $\omega$ et $\omega'$ , une même subdivision est adaptée aux deux, toute boule contenue dans $U$ portant une primitive de chacune ; si $f_k$ et $f'_k$ sont ces primitives sur $B_k$ , $f_k + \lambda f'_k$ en est une de $\omega + \lambda\omega'$ , d'où la linéarité.

Un reparamétrage affine transporte les subdivisions adaptées, en renversant leur ordre s'il est décroissant, ce qui change chaque terme en son opposé. Pour un chemin constant, chaque terme est nul.

(iv) La restriction de $f$ à chaque boule est une primitive, et la somme est télescopique.

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Remarque

Pour un chemin seulement continu, la formule $\int_a^b \omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\,dt$ n'a pas de sens, $\gamma$ pouvant n'être dérivable nulle part. La définition contourne la dérivée en remplaçant, sur chaque petit morceau, la forme par la différentielle d'une primitive locale : seules les valeurs de $\gamma$ aux points de la subdivision interviennent. Elle ne vaut que pour une forme fermée, la seule qui ait des primitives locales.

Repose sur

Primitives locales d'une forme fermée Géométrie différentielle

Sert à

Intégrale sur le bord d'un carré et invariance par homotopie