Proposition 6Géométrie différentielle

Intégrale d'une forme de degré 1 le long d'un chemin

Soit $\omega$ une forme de degré $1$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ et $\gamma : [a, b] \to U$ un chemin de classe $C^1$ par morceaux. On pose $\int_\gamma \omega = \int_a^b \omega_{\gamma(t)}\big(\gamma'(t)\big)\,dt.$ Comme au nœud Formes différentielles, la forme $\omega$ est fermée si $d\omega = 0$ ; elle est exacte si $\omega = df$ pour une fonction $f$ , ce qui est la définition du nœud Formes différentielles en degré $1$ .

Énoncé

(i) $\int_\gamma df = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$ ; en particulier, l'intégrale d'une forme exacte sur un chemin fermé est nulle.

(ii) Une forme exacte est fermée.

(iii) Si $U$ est connexe et si $\int_\gamma \omega = 0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ formé de segments, alors $\omega$ est exacte.

Démonstration

(i) $\omega_{\gamma(t)}(\gamma'(t)) = (f \circ \gamma)'(t)$ par la règle de la chaîne, et l'on applique le théorème fondamental sur chaque morceau (Théorème fondamental).

(ii) $d(df) = 0$ (Formes différentielles).

(iii) Fixons $x_0 \in U$ . L'ensemble des points de $U$ reliés à $x_0$ par une ligne brisée contenue dans $U$ est ouvert, car les boules sont convexes, et son complémentaire aussi ; par connexité, c'est $U$ .

Posons $f(x) = \int_\gamma \omega$ pour une ligne brisée $\gamma$ de $x_0$ à $x$ : la valeur ne dépend pas de la ligne choisie, puisque deux telles lignes forment un chemin fermé.

Pour $t$ petit, en prolongeant la ligne par le segment $[x, x + te_j]$ , $f(x + te_j) - f(x) = \int_0^t \omega_{x + se_j}(e_j)\,ds,$ d'où $\partial_j f(x) = \omega_x(e_j)$ par le théorème fondamental : $df = \omega$ , et $f$ est $C^\infty$ puisque ses dérivées partielles le sont.

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Remarque

Sur $U = \mathbb R^2 \setminus \{0\}$ , la forme $\omega = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}$ est fermée, comme on le vérifie en calculant $d\omega$ .

Son intégrale sur le bord du carré $[-1, 1]^2$ , parcouru dans le sens direct, vaut $4\int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2}$ , puisque sur chaque côté elle se réduit à $\frac{dt}{1 + t^2}$ : c'est un nombre strictement positif, qui vaut $4 \cdot \frac\pi2 = 2\pi$ (Arc tangente, π, (iv)). Donc $\omega$ n'est pas exacte, et (ii) n'a pas de réciproque sur cet ouvert.

Le bord du carré est parcouru dans le sens direct, sans passer par l'origine, qui n'appartient pas à

U

. Chaque côté est paramétré par

t \in [-1, 1]

, par exemple

t \mapsto (1, t)

à droite, et sur chacun la forme se réduit à

\frac{dt}{1 + t^2}

: les quatre contributions sont égales et strictement positives.

Le nœud Cohomologie de de Rham mesurera ce défaut.

Remarque

Le point (i) est le cas de la dimension $1$ de la formule de Stokes, $\int_c d\omega = \int_{\partial c} \omega$ , où le bord d'un chemin est la différence de ses extrémités. Elle est démontrée en tout degré, pour les cubes singuliers lisses, au nœud Formule de Stokes de la cohomologie de de Rham.

Repose sur

Formes différentielles et différentielle extérieure

Sert à

Cohomologie de de Rham