Changement de variables pour l'intégrale de Riemann

(i) Un lemme de Chasles. Soit $P = \prod_i [a_i, b_i] \subset Q = \prod_i [c_i, d_i]$. Notons $g_j$ et $g^P_j$ les fonctions du nœud Intégrales itérées construites à partir de $g$ sur $Q$ et de sa restriction à $P$. Montrons par récurrence sur $j$ que $g_j(x_{j+1}, \dots, x_n)$ est nulle dès que l'une des coordonnées $x_l$, $l > j$, sort de $[a_l, b_l]$, et égale à $g^P_j(x_{j+1}, \dots, x_n)$ sinon. Pour $j = 0$, c'est l'hypothèse.

Au rang $j$, si l'une des coordonnées $x_l$, $l > j$, sort de $[a_l, b_l]$, la fonction intégrée $t \mapsto g_{j-1}(t, x_{j+1}, \dots, x_n)$ est nulle. Sinon, elle est nulle hors de $[a_j, b_j]$ et égale à $g^P_{j-1}(t, x_{j+1}, \dots, x_n)$ sur ce segment, et la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (v)) ramène son intégrale sur $[c_j, d_j]$ à l'intégrale de $g^P_{j-1}$ sur $[a_j, b_j]$. Pour $j = n$, on obtient $\int_Q g = \int_P g$.

Indépendance. Si $P$ et $P'$ sont deux pavés contenant $K$, le pavé $Q$ de côtés $[\min(a_i, a'_i), \max(b_i, b'_i)]$ les contient tous deux, et $\tilde f$ est nulle sur $Q \setminus P$ et sur $Q \setminus P'$. Le lemme donne $\int_P \tilde f = \int_Q \tilde f = \int_{P'} \tilde f$.

Linéarité, croissance, prolongement. Deux fonctions de $C_c(U)$ ont leurs supports dans un même pavé, sur lequel l'intégrale itérée est linéaire et croissante (Intégrales itérées, (ii)). Si $U \subset U'$, le prolongement de $f$ par $0$ à $U'$ est continu, comme restriction de $\tilde f$ ; son support est $K$, compact donc fermé dans $U'$, et son prolongement à $\mathbb R^n$ est encore $\tilde f$.

Permutations. L'application $P_\sigma$ est un homéomorphisme linéaire : $f \circ P_\sigma$ est continue sur l'ouvert $P_\sigma^{-1}(U)$, de support compact $P_\sigma^{-1}(K)$. Si $P = \prod_i [a_i, b_i]$ contient $K$, le pavé $P_\sigma^{-1}(P)$, formé des $x$ tels que $x_{\sigma(i)} \in [a_i, b_i]$ pour tout $i$, contient ce support. Intégrer $\tilde f \circ P_\sigma$ sur $P_\sigma^{-1}(P)$ par rapport à $x_1$, puis à $x_2$, et ainsi de suite, c'est intégrer $\tilde f$ sur $P$ par rapport à $y_{\sigma^{-1}(1)}$, puis à $y_{\sigma^{-1}(2)}$, et ainsi de suite, où $y = P_\sigma(x)$, puisque $x_l = y_{\sigma^{-1}(l)}$ : les fonctions intermédiaires sont les mêmes, à l'écriture des variables près. Le nœud Fubini pour les fonctions continues, (ii), conclut.

(ii) Le support. La fonction $\det d\tau$ est continue, et elle ne s'annule pas (Difféomorphismes primitifs, (i)). La fonction $(f \circ \tau)\,|\det d\tau|$ est donc continue, et non nulle exactement sur $\tau^{-1}(\{f \neq 0\})$, contenu dans $\tau^{-1}(K)$. Celui-ci est compact, image de $K$ par l'application continue $\tau^{-1}$ (Compacts, fermés et images, (iii)), donc fermé dans $U$ ; l'adhérence de $\tau^{-1}(\{f \neq 0\})$ y est contenue, et elle est compacte, comme partie fermée d'un compact (même nœud, (i)).

Disons qu'un difféomorphisme $\tau : U \to V$ vérifie la formule si l'égalité de (ii) a lieu pour toute $f \in C_c(V)$, et notons $(\mathrm{F}_n)$ l'énoncé : tout difféomorphisme entre ouverts de $\mathbb R^n$ vérifie la formule. Établissons d'abord quatre propriétés.

Restriction. Si $\tau$ vérifie la formule et si $U_0 \subset U$ est un ouvert, la restriction de $\tau$ à $U_0$, difféomorphisme de $U_0$ sur l'ouvert $\tau(U_0)$, la vérifie. En effet, une fonction $f \in C_c(\tau(U_0))$ se prolonge par $0$ en une fonction de $C_c(V)$, et le prolongement par $0$ de $(f \circ \tau)\,|\det d\tau|$, de $U_0$ à $U$, est la fonction associée à ce prolongement ; (i) conclut.

Composition. Si $\tau_1 : U \to V$ et $\tau_2 : V \to W$ vérifient la formule, $\tau_2 \circ \tau_1$ la vérifie. Pour $f \in C_c(W)$, la fonction $g = (f \circ \tau_2)\,|\det d\tau_2|$ appartient à $C_c(V)$, et $$\begin{aligned} \int_W f &= \int_V g \\ &= \int_U (f \circ \tau_2 \circ \tau_1) \\ &\qquad \times \big|\det d\tau_2 \circ \tau_1\big|\,|\det d\tau_1| \\ &= \int_U \big(f \circ (\tau_2 \circ \tau_1)\big) \\ &\qquad \times \big|\det d(\tau_2 \circ \tau_1)\big|, \end{aligned}$$ par la règle de la chaîne (Différentielle, (iv)) et le déterminant d'un produit (Déterminant d'une matrice, (ii)).

Permutations. Une permutation $P_\sigma$ des coordonnées, de $P_\sigma^{-1}(V)$ sur $V$, vérifie la formule : c'est le dernier point de (i), puisque $|\det P_\sigma| = 1$.

Localisation. Soit $\tau : U \to V$ et $\mathcal W$ l'ensemble des ouverts $W \subset U$ tels que la restriction de $\tau$ à $W$ vérifie la formule. Si $\mathcal W$ recouvre $U$, $\tau$ vérifie la formule. Soit en effet $f \in C_c(V)$, de support $K$. Les ouverts $\tau(W)$, $W \in \mathcal W$, recouvrent $V$, qui est une variété d'atlas $\{\mathrm{id}\}$ (Exemples de variétés, (i)). Le nœud Partitions de l'unité, (iii), fournit des ouverts $W_1, \dots, W_m$ de $\mathcal W$ et des fonctions $\chi_1, \dots, \chi_m$ de classe $C^\infty$ et positives sur $V$, telles que l'adhérence de $\{\chi_l \neq 0\}$ soit un compact contenu dans $\tau(W_l)$, et que $\sum_l \chi_l = 1$ sur un ouvert contenant $K$.

Alors $f = \sum_l \chi_l f$ sur $V$ : l'égalité a lieu sur cet ouvert, et hors de $K$ les deux membres sont nuls. La restriction de $\chi_l f$ à $\tau(W_l)$ appartient à $C_c(\tau(W_l))$, son support étant contenu dans l'adhérence de $\{\chi_l \neq 0\}$. Par (i), puis par l'hypothèse sur $W_l$, $$\begin{aligned} \int_V f &= \sum_{l=1}^m \int_{\tau(W_l)} \chi_l f \\ &= \sum_{l=1}^m \int_{W_l} \big((\chi_l f) \circ \tau\big)\,|\det d\tau| \\ &= \int_U (f \circ \tau)\,|\det d\tau|, \end{aligned}$$ la dernière égalité parce que $(\chi_l f) \circ \tau$ est nulle hors de $W_l$, et par linéarité.

Dimension 1. Soit $a \in U$ et $J$ un intervalle ouvert contenant $a$ et contenu dans $U$. La dérivée $\tau'$ est continue et ne s'annule pas sur $J$ ; $\tau'(J)$ est un intervalle (Valeurs intermédiaires) qui ne contient pas $0$, et $\tau'$ garde un signe constant sur $J$. Soit $f \in C_c(\tau(J))$, non nulle, de support $K$. La partie $L = \tau^{-1}(K) \cap J$, image de $K$ par la réciproque, continue, de la restriction de $\tau$ à $J$, est compacte (Compacts, fermés et images, (iii)) ; elle a un plus petit élément $\alpha$ et un plus grand $\beta$ (Compacts de ℝ, (ii)), et $\alpha < \beta$, puisque $L$ contient l'ouvert non vide $\tau^{-1}(\{f \neq 0\}) \cap J$.

La fonction $F(u) = \int_{\tau(\alpha)}^u \tilde f$ est dérivable sur $\mathbb R$, de dérivée $\tilde f$ (Théorème fondamental), et $F \circ \tau$ a pour dérivée $(f \circ \tau)\,\tau'$ sur $J$ (Dérivée d'une composée). Cette dérivée est continue ; la fonction $s \mapsto \int_\alpha^s (f \circ \tau)\,\tau' - F(\tau(s))$ a donc une dérivée nulle sur $J$, par le même théorème, et elle est constante sur $[\alpha, \beta]$ (Signe de la dérivée, (ii)) : $$\int_\alpha^\beta (f \circ \tau)\,\tau' = F(\tau(\beta)) - F(\tau(\alpha)).$$ Si $\tau' > 0$, le second membre est $\int_{\tau(\alpha)}^{\tau(\beta)} \tilde f$, intégrale sur un segment qui contient $\tau([\alpha, \beta]) \supset K$ ; si $\tau' < 0$, c'est l'opposé de l'intégrale sur $[\tau(\beta), \tau(\alpha)]$, et $|\tau'| = -\tau'$. Dans les deux cas, $$\int_J (f \circ \tau)\,|\tau'| = \int_{\tau(J)} f,$$ le segment $[\alpha, \beta]$ contenant le support du premier intégrande. Ainsi $J \in \mathcal W$, et la localisation donne $(\mathrm F_1)$.

Récurrence. Soit $n \geqslant 2$ ; supposons $(\mathrm F_{n-1})$, et soit $\tau : U \to V$. Soit $a \in U$, et $W$, $C$, $k$, $h$, $\sigma$ comme au nœud Difféomorphismes primitifs, (ii). Par la composition et les permutations, il suffit de montrer que la restriction de $k$ à $W$, difféomorphisme de $W$ sur $C$, et $h$, difféomorphisme de $C$ sur $\tau'(W)$, vérifient la formule : alors $W \in \mathcal W$, et la localisation conclut.

Le difféomorphisme primitif $h$. Écrivons $C = C' \times J$, avec $C' = B_\infty(c', r) \subset \mathbb R^{n-1}$ et $J = \,]c_n - r, c_n + r[$. Pour $y' \in C'$, l'application $t \mapsto h_n(y', t)$ est un difféomorphisme de $J$ sur l'ouvert $O_{y'} = \{s : (y', s) \in h(C)\}$ : elle est bijective, parce que $h$ l'est et conserve $y'$, et sa réciproque est $s \mapsto (h^{-1})_n(y', s)$, puisque $h^{-1}$ conserve aussi $y'$. De plus $\det dh = \partial_n h_n$, la matrice de $dh$ ayant pour $n - 1$ premières lignes celles de l'identité.

Soit $f \in C_c(h(C))$, de support $K$, et $g = (f \circ h)\,|\partial_n h_n|$, qui appartient à $C_c(C)$. Prenons un pavé $P = P' \times [\alpha, \beta]$ qui contient les supports de $f$ et de $g$. Par Fubini pour les fonctions continues, (iii), en intégrant d'abord par rapport à $x_n$, $$\int_P \tilde f = \int_{P'} F, \qquad \int_P \tilde g = \int_{P'} G,$$ avec $F(y') = \int_\alpha^\beta \tilde f(y', s)\,ds$ et $G(y') = \int_\alpha^\beta \tilde g(y', t)\,dt$. Si $y' \notin C'$, $F(y') = G(y') = 0$, aucun point de $C$ ni de $h(C)$ n'ayant $y'$ pour premières coordonnées. Si $y' \in C'$, la fonction $s \mapsto f(y', s)$ appartient à $C_c(O_{y'})$ : son support est contenu dans $\{s : (y', s) \in K\}$, fermé et borné, donc compact, et contenu dans $O_{y'}$. Son intégrale est $F(y')$, et le cas de la dimension $1$, appliqué au difféomorphisme $t \mapsto h_n(y', t)$, donne $F(y') = G(y')$. Ainsi $F = G$ sur $P'$, et $h$ vérifie la formule.

L'application $k$. Pour $t \in \mathbb R$, notons $W_t$ et $C_t$ les ouverts de $\mathbb R^{n-1}$ formés des $x'$ tels que $(x', t) \in W$, respectivement $(x', t) \in C$, et écrivons $k(x', t) = (\kappa(x', t), t)$. Comme $k$ est une bijection de $W$ sur $C$ qui conserve la dernière coordonnée, ainsi que sa réciproque, l'application $k_t : x' \mapsto \kappa(x', t)$ est un difféomorphisme de $W_t$ sur $C_t$, dont la réciproque se lit sur $k^{-1}$. La dernière ligne de la matrice de $dk(x', t)$ étant $(0, \dots, 0, 1)$, $\det dk(x', t) = \det dk_t(x')$, comme dans la preuve du nœud Difféomorphismes primitifs, (ii).

Soit $f \in C_c(C)$, $g = (f \circ k)\,|\det dk| \in C_c(W)$, et $P = P' \times [\alpha, \beta]$ un pavé qui contient leurs supports. Par définition de l'intégrale itérée, qui intègre en $x_n$ en dernier, $$\begin{aligned} \int_P \tilde f &= \int_\alpha^\beta \Phi(t)\,dt, \\ \int_P \tilde g &= \int_\alpha^\beta \Gamma(t)\,dt, \end{aligned}$$ où $\Phi(t)$ et $\Gamma(t)$ sont les intégrales itérées sur $P'$ des fonctions $x' \mapsto \tilde f(x', t)$ et $x' \mapsto \tilde g(x', t)$. Si $C_t$ est vide, $W_t$ aussi, et $\Phi(t) = \Gamma(t) = 0$. Sinon, $x' \mapsto f(x', t)$ appartient à $C_c(C_t)$, d'intégrale $\Phi(t)$, et $x' \mapsto g(x', t) = f(k_t(x'), t)\,|\det dk_t(x')|$ appartient à $C_c(W_t)$, d'intégrale $\Gamma(t)$. L'hypothèse $(\mathrm F_{n-1})$, appliquée à $k_t$, donne $\Phi(t) = \Gamma(t)$. Ainsi $k$ vérifie la formule, ce qui achève la récurrence.

Aucun choix n'intervient : la localisation ne désigne pas d'ouvert point par point, et la partition de l'unité n'emploie qu'un nombre fini de fonctions.