Formes à support compact et cohomologie à support compact

(i) Sur l'ouvert complémentaire du support de $\omega$, $\omega$ est nulle, donc $d\omega$ aussi : l'ensemble où $d\omega$ ne s'annule pas est contenu dans le support de $\omega$, qui est fermé, et le support de $d\omega$, fermé contenu dans un compact, est compact (Parties compactes, (i)).

Soit $K$ le support de $\eta \in \Omega^k_c(V)$. Compact dans l'espace séparé $U$, il y est fermé (même nœud, (ii)), et $U$ est la réunion des ouverts $V$ et $U \setminus K$. La forme $j_*\eta$ vaut $\eta$ sur le premier, $0$ sur le second, et les deux coïncident sur $V \setminus K$ : elle est de classe $C^\infty$ (Partition de l'unité, (i)), de support $K$. Elle commute à $d$, qui ne dépend que des valeurs au voisinage de chaque point, et envoie donc formes fermées et formes $d\beta$, $\beta \in \Omega_c(V)$, sur des formes de même nature. La transitivité vient de ce que les deux extensions successives valent $\eta$ sur $W$ et $0$ ailleurs, comme l'extension directe.

(ii) Par le même argument, $\tilde f$ est de classe $C^\infty$, et elle est nulle hors du support $K$ de $\omega$. Si $K$ est vide, l'intégrale vaut $0$ pour tout $P$. Sinon, soit $P = \prod_i [a_i, b_i]$ et $P' = \prod_i [a'_i, b'_i]$ deux pavés contenant $K$, et $P'' = \prod_i [a''_i, b''_i]$, avec $a''_i = \max(a_i, a'_i)$ et $b''_i = \min(b_i, b'_i)$. L'ensemble où $\omega$ ne s'annule pas est un ouvert non vide, d'adhérence $K$ contenue dans $P \cap P' = P''$ ; il contient une boule ouverte, si bien que $a''_i < b''_i$ pour tout $i$ : $P''$ est un pavé. Il suffit de comparer $P$ et $P'' \subset P$, puis $P'$ et $P''$.

Avec les notations du nœud Intégrales itérées, montrons par récurrence sur $j$ que les fonctions $g_j$ et $g''_j$ construites sur $P$ et $P''$ coïncident sur le pavé de $P''$ où elles sont définies, et que $g_j$ est nulle si l'une de ses variables $x_l$, $l > j$, sort de $[a''_l, b''_l]$. C'est vrai pour $j = 0$, $\tilde f$ étant nulle hors de $P''$. Au rang $j$, la fonction $t \mapsto g_{j-1}(t, \dots)$ est nulle hors de $[a''_j, b''_j]$, et la relation de Chasles (Propriétés de l'intégrale, (v)) ramène son intégrale sur $[a_j, b_j]$ à l'intégrale sur $[a''_j, b''_j]$. Pour $j = n$, $\int_P \tilde f = \int_{P''} \tilde f$.

La linéarité vient de celle de l'intégrale itérée. Pour $\eta \in \Omega^n_c(V)$, les fonctions $\tilde f$ associées à $\eta$ et à $j_*\eta$ sont les mêmes.

(iii) Étendons $\eta$ par zéro à $\mathbb R^n$ et écrivons $\eta = \sum_i (-1)^{i-1}f_i\,dx_1 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_n$. Comme au nœud Forme angle solide, $d\eta = \big(\sum_i \partial_if_i\big)\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$.

Le support $K$ est fermé et borné (L'espace ℝⁿ, (iii)) ; soit $P = \prod_i [a_i, b_i]$ un pavé dont l'intérieur contient $K$. En intégrant d'abord en $x_i$ (Fubini (fonctions continues), (iii)), le théorème fondamental (Théorème fondamental) donne, pour chaque $y$, $$\int_{a_i}^{b_i} \partial_if_i\big(\iota_{i,t}(y)\big)\,dt = 0,$$ puisque $f_i$ est nulle sur les faces $x_i = a_i$ et $x_i = b_i$. Donc $\int_P \partial_if_i = 0$ pour chaque $i$.

(iv) Si $\omega$ a un support compact $K$, celui de $\varphi^*\omega$ est $\varphi^{-1}(K)$, compact comme image de $K$ par l'application continue $\varphi^{-1}$ (Parties compactes, (iii)). L'image réciproque commute à $d$ (Formes différentielles, (iii)), et $(\varphi^{-1})^*$ est la réciproque de $\varphi^*$.