Intégration dans les fibres et lemme de Poincaré à support compact

(i) Supports. Si $\omega$ est nulle hors du compact $C$, $\pi_*\omega$ est nulle hors de la projection de $C$ sur $M$, compacte (Parties compactes, (iii)). Soit $[\alpha, \beta]$ un segment de $J$ contenant la projection de $C$ sur $J$ et le segment $[c - r, c + r]$. Pour $t < \alpha$, $g_L(x, t) = 0 - 0$ ; pour $t > \beta$, $E(t) = 1$ et $g_L = \int_J b_L - \int_J b_L = 0$ ; et $g_L = 0$ si $x$ est hors de la projection de $C$ sur $M$. Le support de $K\omega$ est donc dans un produit de deux compacts. Enfin $e_*\varphi$ est nulle hors de $\mathrm{supp}\,\varphi \times [c - r, c + r]$.

Régularité. L'intégrale sur $J$ porte, en fait, sur le segment $[\alpha, \beta]$ ; après le changement de variable affine qui le ramène à $[0, 1]$ (Intégrales itérées, (iii)), le nœud Schwarz, intégrales à paramètre, (ii), montre que $\pi_*\omega$ et $x \mapsto \int_J b_L(x, s)\,ds$ sont de classe $C^\infty$, et que l'on dérive sous l'intégrale en $x$.

Pour l'intégrale à borne variable, le même changement de variable donne, pour $t \in J$, $$\begin{aligned} &\int_\alpha^t b_L(x, s)\,ds \\ &\quad = (t - \alpha)\int_0^1 b_L\big(x, \alpha + u(t - \alpha)\big)\,du, \end{aligned}$$ où le point $\alpha + u(t - \alpha)$ reste dans l'intervalle $J$. L'intégrande est une fonction de $u \in [0, 1]$ et du paramètre $(x, t) \in M \times J$, continue avec toutes ses dérivées partielles en $(x, t)$ ; par le même point (ii), le second membre est de classe $C^\infty$ en $(x, t)$. Il en va de même de $E(t) = \int_\alpha^t e$, et $g_L$ est de classe $C^\infty$, comme produit et somme (Classe Cᵏ, (ii) et (iii)).

Identités. $\pi_*e_*\varphi = \big(\int_J e\big)\varphi = \varphi$. Pour $\omega = a\,dx_I$, $d\omega = \sum_l \partial_la\,dx_l \wedge dx_I + \partial_ta\,dt \wedge dx_I$, et $\pi_*d\omega = \big(\int_J \partial_ta\,dt\big)dx_I = 0$, la fonction $t \mapsto a(x, t)$ étant nulle aux deux bouts d'un segment qui contient son support ; et $\pi_*\omega = 0$.

Pour $\omega = b\,dt \wedge dx_L$, on a $d\omega = -\sum_l \partial_lb\,dt \wedge dx_l \wedge dx_L$, comme au nœud Formule d'homotopie, d'où $\pi_*d\omega = -\sum_l \big(\int_J \partial_lb\big)\,dx_l \wedge dx_L = -d\pi_*\omega$. Enfin $d(e\,dt) = e'\,dt \wedge dt = 0$, et la règle de Leibniz (Formes différentielles, (i)) donne $d(e\,dt \wedge \varphi) = -e\,dt \wedge d\varphi$.

(ii) Les deux membres sont linéaires ; traitons les deux types de formes.

$\omega = a\,dx_I$. Alors $K\omega = 0$ et $\pi_*\omega = 0$. Dans $d\omega$, seul $\partial_ta\,dt \wedge dx_I$ contient $dt$, et $$\begin{aligned} K(d\omega) &= \Big(\int_-^t \partial_sa\,ds - E(t)\cdot 0\Big)dx_I \\ &= \omega, \end{aligned}$$ par le théorème fondamental (Théorème fondamental).

$\omega = b\,dt \wedge dx_L$. Avec $B = \int_J b$, on a $e_*\pi_*\omega = eB\,dt \wedge dx_L$ et $K\omega = g\,dx_L$, $g = \int_-^t b - EB$. Donc $$\begin{aligned} d(K\omega) &= (b - eB)\,dt \wedge dx_L \\ &\quad + \sum_l \partial_lg\,dx_l \wedge dx_L, \end{aligned}$$ tandis que $K(d\omega) = -\sum_l \partial_lg\,dx_l \wedge dx_L$, puisque $\partial_lg = \int_-^t \partial_lb - E\int_J \partial_lb$. La somme est $\omega - e_*\pi_*\omega$.

(iii) Par (i), $\pi_*$ et $e_*$ envoient formes fermées sur formes fermées et formes $d\beta$, $\beta$ à support compact, sur des formes de même nature : ils induisent des applications entre les cohomologies à support compact. $\pi_*e_* = \mathrm{id}$, et, pour $\omega$ fermée, (ii) donne $\omega - e_*\pi_*\omega = d(K\omega)$, avec $K\omega$ à support compact : les deux applications sont réciproques. En degré $0$, $\pi_*$ et $K$ sont nulles, et (ii) se réduit à $K(df) = f$ : une fonction $f$ à support compact et de différentielle nulle est nulle.

(iv) Par récurrence sur $n$, en écrivant $P = P' \times\,]a_n, b_n[$, où $P'$ est un pavé ouvert de $\mathbb R^{n-1}$, ou un point si $n = 1$. Pour le point, $H^0_c = \mathbb R$ et $H^k_c = 0$ pour $k \geqslant 1$. Par (iii), $H^0_c(P) = 0$ et $H^k_c(P) \cong H^{k-1}_c(P')$ pour $k \geqslant 1$ : la seule cohomologie non nulle est en degré $n$, de dimension $1$.

Pour $\omega = f\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n = (-1)^{n-1}f\,dx_n \wedge dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$, on a $\pi_*\omega = (-1)^{n-1}\big(\int f\,dx_n\big)\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$, et, en intégrant d'abord en $x_n$ (Fubini (fonctions continues), (ii)), $\int_{P'} \pi_*\omega = (-1)^{n-1}\int_P \omega$. L'intégrale sur $P$ est donc, au signe près, la composée de l'isomorphisme $\pi_*$ et de l'intégrale sur $P'$, qui est un isomorphisme par récurrence ; pour $n = 1$, c'est $\pi_*$ suivi de l'identification $H^0_c(\text{point}) = \mathbb R$.