Théorème 3Support compact et dualité de Poincaré

Dualité de Poincaré pour les réunions finies de pavés ouverts

Les pavés ouverts sont ceux du nœud Poincaré à support compact, (iv), bornés ou non ; l'intersection de deux pavés ouverts en est un, ou elle est vide, puisque l'intersection de deux intervalles ouverts est un intervalle ouvert ou vide.

Énoncé

(i) Soit $W$ une réunion finie de pavés ouverts de ${\mathbb R^n}$ . Pour tout $k$ , ${H^k}(W)$ et $H^k_c(W)$ sont de dimension finie, et $\mathrm{PD}_W : H^k(W) \to \big(H^{n-k}_c(W)\big)^*$ est un isomorphisme. Aucun choix n'intervient.

(ii) Pour $n \geqslant 2$ , $H^k_c(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ est de dimension $1$ pour $k = 1$ et $k = n$ , et nulle sinon.

Démonstration

(i) Par récurrence sur le nombre $m$ de pavés, l'énoncé portant sur tous les degrés à la fois. Pour $m = 0$ , $W$ est vide et tous les espaces sont nuls.

Un pavé. Un pavé ouvert $P$ est convexe, donc étoilé par rapport à chacun de ses points : $H^0(P) = \mathbb R$ , formé des constantes, et $H^k(P) = 0$ pour $k \geqslant 1$ (Cohomologie de de Rham, (ii) et (iv), après translation). Par Poincaré à support compact, (iv), $H^n_c(P) \cong \mathbb R$ par l'intégrale, et $H^j_c(P) = 0$ pour $j \neq n$ . En degré $0$ , $\mathrm{PD}_P(c)$ est $[\eta] \mapsto c\int_P \eta$ , et $c \mapsto \mathrm{PD}_P(c)$ est bijective, puisque l'intégrale est un isomorphisme de $H^n_c(P)$ sur $\mathbb R$ . Dans les autres degrés, les deux membres sont nuls.

Récurrence. Soit $W = W' \cup P$ , où $W'$ est réunion de $m - 1$ pavés $P_1, \dots, P_{m-1}$ et $P$ un pavé. Alors $W' \cap P = \bigcup_l (P_l \cap P)$ est réunion d'au plus $m - 1$ pavés, et l'énoncé vaut pour $W'$ , $P$ et $W' \cap P$ .

Les suites de Mayer-Vietoris (Mayer-Vietoris et Mayer-Vietoris à support compact) contiennent les segments exacts $H^{k-1}(W' \cap P) \to H^k(W) \to H^k(W') \oplus H^k(P)$ et $H^k_c(W') \oplus H^k_c(P) \to H^k_c(W) \to H^{k+1}_c(W' \cap P)$ : par Lemme des cinq, (i), $H^k(W)$ et $H^k_c(W)$ sont de dimension finie.

L'échelle. Écrivons $U = W'$ , $V = P$ , $X = W$ et $j = n - k$ . La ligne du haut est le segment exact $\begin{aligned} &H^{k-1}(U) \oplus H^{k-1}(V) \to H^{k-1}(U \cap V) \\ &\to H^k(X) \to H^k(U) \oplus H^k(V) \\ &\to H^k(U \cap V). \end{aligned}$ La ligne du bas est formée des duaux du segment exact $\begin{aligned} &H^j_c(U \cap V) \to H^j_c(U) \oplus H^j_c(V) \\ &\to H^j_c(X) \to H^{j+1}_c(U \cap V) \\ &\to H^{j+1}_c(U) \oplus H^{j+1}_c(V), \end{aligned}$ lus en sens inverse, avec les transposées des applications. Tous ces espaces sont de dimension finie, et Lemme des cinq, (ii), appliqué en chacun des trois termes intérieurs, rend la ligne du bas exacte.

Les flèches verticales sont les $\mathrm{PD}$ , celle d'une somme directe étant la somme directe des $\mathrm{PD}$ . Par Accouplement de Poincaré, (iii), chaque carré commute ou anticommute. Les quatre flèches extérieures sont des isomorphismes par hypothèse de récurrence, et le lemme des cinq (Lemme des cinq, (iii)) conclut pour $\mathrm{PD}_X$ en degré $k$ .

(ii) $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ est la réunion des $2n$ demi-espaces ouverts $\{\pm x_i > 0\}$ , qui sont des pavés ouverts. Par (i), $\dim H^k_c = \dim H^{n-k}$ , et le nœud ℝⁿ privé de l'origine, (ii), conclut : $H^{n-k}$ est de dimension $1$ pour $n - k = 0$ et $n - k = n - 1$ .

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Remarque

Un générateur de $H^1_c(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ , pour $n \geqslant 3$ , est explicite. Soit, avec la fonction $\theta$ du nœud Fonctions plateau, $\rho(r) = \frac{\theta(2 - r)}{\theta(2 - r) + \theta(r - 1)},$ fonction de classe $C^\infty$ et décroissante sur $]0, +\infty[$ , égale à $1$ sur $]0, 1]$ et à $0$ sur $[2, +\infty[$ , et $f(x) = \rho(|x|)$ . La forme $df$ est à support compact dans la couronne $1 \leqslant |x| \leqslant 2$ , et fermée. Si l'on avait $df = dg$ avec $g$ à support compact, $f - g$ serait localement constante, donc constante sur $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ , dont le $H^0$ est de dimension $1$ (ℝⁿ privé de l'origine), nulle loin de l'origine, donc $f = g$ ; or $f = 1$ près de $0$ , et son support n'est pas compact dans $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ . La classe de $df$ n'est donc pas nulle, alors que $H^1(\mathbb R^n \setminus \{0\}) = 0$ : les deux cohomologies diffèrent, et c'est la dualité qui les relie.

Remarque

La récurrence repose sur la stabilité de la famille par intersection : l'intersection de deux pavés est un pavé, ce qui n'est pas vrai, par exemple, pour les boules euclidiennes ou les étoilés. C'est la même raison qui fait choisir des cubes pour la norme $\|\cdot\|_\infty$ dans tout ce graphe.

Repose sur

Intégration dans les fibres et lemme de Poincaré à support compact L'accouplement de Poincaré Dimension finie, dualité et lemme des cinq

Sert à

Dualité de Poincaré pour les ouverts de ℝⁿ