Théorème 4Support compact et dualité de Poincaré

Dualité de Poincaré pour les ouverts de ℝⁿ

Énoncé

Pour tout ouvert $U$ de ${\mathbb R^n}$ et tout $k$ , l'accouplement $\int_U \omega \wedge \eta$ induit un isomorphisme $\mathrm{PD}_U : {H^k}(U) \to \big(H^{n-k}_c(U)\big)^*.$ C'est la dualité de Poincaré. Autrement dit, une forme fermée $\omega$ de degré $k$ est exacte si et seulement si $\int_U \omega \wedge \eta = 0$ pour toute forme fermée à support compact $\eta$ de degré $n - k$ , et toute forme linéaire sur $H^{n-k}_c(U)$ est de la forme $[\eta] \mapsto \int_U \omega \wedge \eta$ . Aucun choix n'intervient.

Démonstration

Si $U$ est vide, tout est nul. Sinon, reprenons les ouverts $U_m$ du nœud Passage à la limite ; chacun est une réunion finie de pavés ouverts.

Le dual de $H^{n-k}_c(U)$ . Associons à $\lambda \in \big(H^{n-k}_c(U)\big)^*$ la suite des formes $\lambda_m = \lambda \circ j_*$ sur $H^{n-k}_c(U_m)$ . Elle est compatible : $\lambda_{m+1} \circ j_* = \lambda_m$ , par transitivité des extensions (Support compact, (i)).

Cette correspondance est bijective. Toute forme à support compact $\eta$ sur $U$ a son support dans un $U_m$ (Passage à la limite, (i)), et $[\eta] = j_*[\eta|_{U_m}]$ ; donc $\lambda$ est déterminée par les $\lambda_m$ . Réciproquement, une suite compatible $(\lambda_m)$ définit $\lambda[\eta] = \lambda_m[\eta|_{U_m}]$ pour $m$ assez grand : la valeur ne dépend pas de $m$ , par compatibilité, ni du représentant, car si $\eta' - \eta = d\beta$ , $\beta$ à support compact dans un $U_{m'}$ , il suffit de prendre $m \geqslant m'$ .

Les dualités finies. Par Dualité, cas fini, chaque $\mathrm{PD}_{U_m}$ est un isomorphisme, et, par Accouplement de Poincaré, (ii), $\mathrm{PD}_{U_m}(c|_{U_m}) = \mathrm{PD}_{U_{m+1}}(c) \circ j_*$ pour $c \in H^k(U_{m+1})$ . Les familles compatibles de classes $(c_m)$ correspondent donc bijectivement aux suites compatibles de formes linéaires $(\lambda_m)$ , par $\lambda_m = \mathrm{PD}_{U_m}(c_m)$ .

La restriction. Par Passage à la limite, (iii), l'application $c \mapsto (c|_{U_m})_m$ est une bijection de $H^k(U)$ sur les familles compatibles de classes.

Conclusion. La composée de ces trois bijections envoie $c \in H^k(U)$ sur la forme $\lambda$ telle que $\lambda_m = \mathrm{PD}_{U_m}(c|_{U_m}) = \mathrm{PD}_U(c) \circ j_*$ , par Accouplement de Poincaré, (ii) : c'est $\mathrm{PD}_U(c)$ . Donc $\mathrm{PD}_U$ est bijective.

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Remarque

Pour $U = \mathbb R^n \setminus \{0\}$ , $n \geqslant 2$ , la forme angle solide $\sigma_n$ engendre $H^{n-1}(U)$ (Forme angle solide), et la dualité dit qu'il existe une forme fermée à support compact $\eta$ , de degré $1$ , telle que $\int_U \sigma_n \wedge \eta \neq 0$ . On peut prendre $\eta = df$ , avec $f = \rho(|x|)$ comme au nœud Dualité, cas fini. Un calcul direct donne $\sigma_n \wedge df = (-1)^{n-1}\,\frac{\rho'(|x|)}{|x|^{n-1}}\,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n,$ de signe constant puisque $\rho$ décroît, et non identiquement nulle : l'intégrale n'est pas nulle.

Remarque

L'énoncé symétrique, $H^k_c(U) \cong \big(H^{n-k}(U)\big)^*$ , n'est pas démontré ici, et il est faux en général avec l'axiome du choix. Pour $U$ réunion d'une suite d'intervalles ouverts deux à deux disjoints de $\mathbb R$ , $H^1_c(U)$ est la somme directe d'une suite de droites, et $H^0(U)$ leur produit, $\mathbb R^{\mathbb N}$ ; le dual de $H^1_c(U)$ est bien $\mathbb R^{\mathbb N}$ , mais le dual de $\mathbb R^{\mathbb N}$ contient, si l'on dispose d'une base de $\mathbb R^{\mathbb N}$ qui prolonge la base canonique des suites à support fini (Existence de bases, ⋆), des formes linéaires nulles sur toutes les suites à support fini sans être nulles, qui ne proviennent d'aucun élément de $H^1_c(U)$ .

Remarque

Henri Poincaré a énoncé la dualité, pour les nombres de Betti des variétés fermées orientables, en 1893, et a tenté de la démontrer dans « Analysis situs » (Journal de l'École polytechnique (2) 1, 1895, p. 1-123). La démonstration, fondée sur l'intersection des cycles, était lacunaire ; Poul Heegaard en donna un contre-exemple dans sa thèse de Copenhague (1898), et Poincaré la reprit, par des triangulations duales, dans les compléments à l'Analysis situs.

Pour une variété compacte orientée $M$ de dimension $n$ , $H^*_c(M) = H^*(M)$ et la dualité donne $\dim H^k(M) = \dim H^{n-k}(M)$ ; elle demande l'intégrale sur une variété et des recouvrements par des cartes dont les intersections sont convexes, qui ne sont pas construits dans l'édifice.

Repose sur

Dualité de Poincaré pour les réunions finies de pavés ouverts Cohomologie d'un ouvert et de ses réunions finies de cubes

Sert à

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