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Proposition 1Support compact et dualité de Poincaré

L'accouplement de Poincaré

Soit UU un ouvert de ℝn{\mathbb R^n}. Pour ω∈Ωk(U)\omega \in \Omega^k(U) et η∈Ωcn−k(U)\eta \in \Omega^{n-k}_c(U), la forme ω∧η\omega \wedge \eta, de degré nn, est nulle hors du support de η\eta, donc à support compact, et l'on pose ⟨ω,η⟩U=∫Uω∧η.\langle \omega, \eta \rangle_U = \int_U \omega \wedge \eta.

Énoncé

(i) Pour ω\omega et η\eta fermées, ⟨ω,η⟩U\langle \omega, \eta \rangle_U ne dépend que des classes [ω]∈Hk(U)[\omega] \in {H^k}(U) et [η]∈Hcn−k(U)[\eta] \in H^{n-k}_c(U). L'application PDU:Hk(U)→(Hcn−k(U))∗\mathrm{PD}_U : H^k(U) \to {\big(H^{n-k}_c(U)\big)^*} qui envoie [ω][\omega] sur [η]↦⟨ω,η⟩U[\eta] \mapsto \langle \omega, \eta \rangle_U est linéaire.

(ii) Si V⊂UV \subset U est un ouvert, ⟨ω∣V,η⟩V=⟨ω,j∗η⟩U\langle \omega|_V, \eta \rangle_V = \langle \omega, j_*\eta \rangle_U pour η∈Ωcn−k(V)\eta \in \Omega^{n-k}_c(V).

(iii) Soit X=U∪VX = U \cup V. Avec les notations des nœuds Mayer-Vietoris et Mayer-Vietoris à support compact, pour des classes de degrés convenables : ⟨r∗c,(α,β)⟩=⟨c,s(α,β)⟩X,⟨s∗(a,b),η⟩U∩V=⟨(a,b),i(η)⟩,⟨δω,η⟩X=(−1)k⟨ω,δcη⟩U∩V,\begin{aligned} \langle r^*c, (\alpha, \beta) \rangle &= \langle c, s(\alpha, \beta) \rangle_X, \\ \langle s^*(a, b), \eta \rangle_{U \cap V} &= \langle (a, b), i(\eta) \rangle, \\ \langle \delta\omega, \eta \rangle_X &= (-1)^k\langle \omega, \delta_c\eta \rangle_{U \cap V}, \end{aligned} où ⟨(a,b),(α,β)⟩=⟨a,α⟩U+⟨b,β⟩V\langle (a, b), (\alpha, \beta) \rangle = \langle a, \alpha \rangle_U + \langle b, \beta \rangle_V, et où, dans la dernière, ω\omega est de degré k−1k - 1.

Démonstration

(i) Si ω=dα\omega = d\alpha et η\eta est fermée, ω∧η=d(α∧η)\omega \wedge \eta = d(\alpha \wedge \eta) (Formes différentielles, (i)), et α∧η\alpha \wedge \eta est à support compact : l'intégrale est nulle (Support compact, (iii)). Si η=dβ\eta = d\beta, avec β\beta à support compact, et ω\omega fermée, ω∧dβ=(−1)kd(ω∧β)\omega \wedge d\beta = (-1)^k d(\omega \wedge \beta), de même nulle à l'intégrale. La linéarité est celle de l'intégrale.

(ii) ω∧j∗η=j∗(ω∣V∧η)\omega \wedge j_*\eta = j_*(\omega|_V \wedge \eta), et ∫Uj∗=∫V\int_U j_* = \int_V (Support compact, (ii)).

(iii) Les deux premières égalités découlent de (ii) et de la linéarité : ∫Xc∧(j∗α+j∗β)=∫Uc∧α+∫Vc∧β\int_X c \wedge (j_*\alpha + j_*\beta) = \int_U c \wedge \alpha + \int_V c \wedge \beta, et ∫Ua∧j∗η−∫Vb∧j∗η=∫U∩V(a−b)∧η\int_U a \wedge j_*\eta - \int_V b \wedge j_*\eta = \int_{U \cap V} (a - b) \wedge \eta.

Pour la troisième, δω\delta\omega est représentée par dχV∧ωd\chi_V \wedge \omega, prolongée par zéro (Mayer-Vietoris, (iii)), et δcη\delta_c\eta par dχU∧η=−dχV∧ηd\chi_U \wedge \eta = -d\chi_V \wedge \eta (nœud Mayer-Vietoris à support compact, (iii)). Comme dχVd\chi_V est de degré 11 et ω\omega de degré k−1k - 1, ω∧dχV∧η=(−1)k−1 dχV∧ω∧η,\omega \wedge d\chi_V \wedge \eta = (-1)^{k-1}\,d\chi_V \wedge \omega \wedge \eta, et ces formes sont nulles hors de U∩VU \cap V. Donc ⟨ω,δcη⟩=(−1)k⟨δω,η⟩\langle \omega, \delta_c\eta \rangle = (-1)^k\langle \delta\omega, \eta \rangle.

□
Remarque

Pour U=ℝnU = \mathbb R^n et k=0k = 0, PD(1)\mathrm{PD}(1) est la forme linéaire [η]↦∫η[\eta] \mapsto \int \eta, et PDℝn\mathrm{PD}_{\mathbb R^n} est un isomorphisme de H0(ℝn)=ℝH^0(\mathbb R^n) = \mathbb R sur le dual de Hcn(ℝn)≅ℝH^n_c(\mathbb R^n) \cong \mathbb R (Poincaré à support compact, (iv)). C'est le premier cas de la dualité de Poincaré, qui affirme que PDU\mathrm{PD}_U est toujours un isomorphisme.

Remarque

L'erreur à éviter est d'accoupler deux formes quelconques : ∫Uω∧η\int_U \omega \wedge \eta n'a de sens que si l'une des deux est à support compact. Sur ℝ\mathbb R, ∫ℝ1⋅dx\int_{\mathbb R} 1 \cdot dx n'est pas définie ; c'est pourquoi la dualité met face à face H∗H^* et Hc∗H^*_c, et non H∗H^* et lui-même.

Repose sur

Suite de Mayer-Vietoris à support compact

Sert à

Dualité de Poincaré pour les réunions finies de pavés ouverts
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