Cohomologie d'un ouvert et de ses réunions finies de cubes

(i) $I_m \subset I_{m+1}$, et tout indice a un rang. Un compact $C$ de $U$ est recouvert par les cubes ouverts (Recouvrement par des cubes, (ii)), donc par un nombre fini d'entre eux (Compacité), et il est contenu dans $U_m$ dès que $m$ dépasse leurs rangs.

(ii) Le point de norme minimale. Les espaces $\check C^p(N^{(m)})$ sont de dimension finie : la partie de degré $p$ de $N^{(m)}$, formée de suites de $p + 1$ termes dans $I_m$, a au plus $|I_m|^{p+1}$ éléments. Ils sont munis de la norme $|a| = \big(\sum_\sigma a(\sigma)^2\big)^{1/2}$. Un sous-espace affine non vide $A = a_0 + F$ a un unique point de norme minimale. Le sous-espace $F$ est le noyau d'une application linéaire, par complétion d'une base (Dimension, (iii)), continue comme toute application linéaire de $\mathbb R^{N^{(m)}}$, donc il est fermé ; $A \cap \{|a| \leqslant |a_0|\}$ est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)), et la norme y atteint son minimum, son image étant un compact de $\mathbb R$ (Parties compactes, (iii)). Si $a$ et $a'$ réalisent le minimum $\mu$, le milieu est dans $A$ et $$\Big|\frac{a + a'}2\Big|^2 = \mu^2 - \frac{|a - a'|^2}4,$$ d'où $a = a'$.

Stabilisation. Fixons $m$ et notons $S_{m'}$, pour $m' \geqslant m$, la restriction de $A_{m'}$ à $N^{(m)}$, de sorte que $S_m = A_m$ : c'est un sous-espace affine non vide, et $S_{m'+1} \subset S_{m'}$. Deux sous-espaces affines emboîtés de même dimension sont égaux (Dimension, (iii)) ; les dimensions, entières et décroissantes, finissent par être constantes, et la suite $(S_{m'})$ aussi. Soit $A^\infty_m$ sa valeur finale. La restriction de $A^\infty_{m+1}$ à $N^{(m)}$ est $A^\infty_m$ : il suffit de prendre $m'$ assez grand pour que les deux suites soient stationnaires.

Récurrence. $I_0$ est vide, donc $\check C^p(N^{(0)}) = \{0\}$, et l'on pose $a_0 = 0$. Soit $a_m$ le point de norme minimale de l'ensemble des $b \in A^\infty_m$ dont la restriction à $N^{(m-1)}$ est $a_{m-1}$, sous-espace affine non vide par ce qui précède, puisque $a_{m-1} \in A^\infty_{m-1}$ est la restriction d'un élément de $A^\infty_m$. Les $a_m$ se prolongent l'un l'autre ; comme toute suite de $N$ n'a qu'un nombre fini de termes, elle est dans l'un des $N^{(m)}$, et la cochaîne $a$ égale à $a_m$ sur $N^{(m)}$ est bien définie. Sa restriction à $N^{(m)}$ est $a_m \in A^\infty_m \subset S_m = A_m$ : elle convient.

(iii) Par Weil pour un nombre fini de cubes, (ii) et (iii), les isomorphismes $\Theta$ et $\Theta_{I_m}$ transforment les restrictions de formes en restrictions de cochaînes de Čech. Il suffit donc de démontrer les deux énoncés pour $\check C(N)$ et les $\check C(N^{(m)})$.

Injectivité. Soit $z$ un cocycle de degré $k$ sur $N$ dont chaque restriction à $N^{(m)}$ est un cobord. Si $k = 0$, ces restrictions sont nulles, et $z = 0$. Sinon, l'ensemble $A_m$ des $b \in \check C^{k-1}(N^{(m)})$ tels que $\delta b$ soit la restriction de $z$ est un sous-espace affine non vide, et la restriction envoie $A_{m+1}$ dans $A_m$, puisqu'elle commute à $\delta$. Par (ii), il existe $b$ dont les restrictions sont dans les $A_m$ ; alors $\delta b$ et $z$ ont mêmes restrictions à tous les $N^{(m)}$, et $z = \delta b$.

Surjectivité. Soit $(c_m)$ une famille compatible de classes de Čech, et $A_m$ l'ensemble des cocycles de $N^{(m)}$ de classe $c_m$, sous-espace affine non vide. La restriction d'un cocycle de classe $c_{m+1}$ est de classe $c_m$. Par (ii), on obtient une cochaîne $z$ dont chaque restriction est un cocycle de classe $c_m$ ; $\delta z$ a des restrictions nulles, donc est nul.