Proposition 2Support compact et dualité de Poincaré

L'isomorphisme de Weil pour une sous-famille finie de cubes

Soit $U$ un ouvert non vide de ${\mathbb R^n}$ , $(B_i)_{i \in I}$ ses cubes (Recouvrement par des cubes), $N$ le nerf et $K$ le complexe double du nœud Čech-de Rham. Pour une partie finie $J$ de $I$ , on note $W_J = \bigcup_{i \in J} B_i$ , $N(J)$ l'ensemble des suites de $N$ dont tous les termes sont dans $J$ , $\check C(J)$ le complexe des fonctions réelles sur $N(J)$ , et $K(J)$ le complexe double formé des $\prod_{\sigma \in N(J)_p} \Omega^q(B_\sigma)$ , avec les mêmes différentielles et les mêmes augmentations $r_J$ et $e_J$ qu'au nœud Čech-de Rham, $\Omega(U)$ étant remplacé par $\Omega(W_J)$ .

Énoncé

(i) Pour des ouverts $A_1, \dots, A_m$ de réunion $W$ , il existe des fonctions $\chi_1, \dots, \chi_m$ de classe $C^\infty$ sur $W$ , positives, de somme $1$ , chaque $\chi_l$ étant nulle près de $W \setminus A_l$ ; elles sont construites sans choix.

(ii) Les rangées et les colonnes de $K(J)$ sont exactes, et $\Theta_J = e_{J*}^{-1}r_{J*}$ est un isomorphisme de ${H^k}(W_J)$ sur $H^k(\check C(J))$ . On note $\Theta$ l'isomorphisme analogue pour $U$ (Čech-de Rham, (iv)).

(iii) Naturalité. Pour $J \subset J'$ , finies, la restriction des formes de $W_{J'}$ à $W_J$ et celle des cochaînes de $N(J')$ à $N(J)$ correspondent par $\Theta_{J'}$ et $\Theta_J$ ; de même entre $U$ et $W_J$ , par $\Theta$ et $\Theta_J$ .

Démonstration

(i) Si $W$ est vide, il n'y a rien à construire. Si l'un des $A_l$ est $\mathbb R^n$ , on prend $\chi_l = 1$ pour le plus petit tel $l$ , et les autres nulles. Sinon, on reprend la preuve du nœud Partition pour deux ouverts, (i), avec la jauge $\delta' = \min(1, \max_l d_{A_l})$ . Le maximum d'un nombre fini de fonctions $1$ -lipschitziennes l'est encore, par récurrence sur leur nombre, puisque $|\max(a, b) - \max(a', b')| \leqslant \max(|a - a'|, |b - b'|)$ ; la jauge a donc, pour l'ouvert $W$ , les propriétés (i) du nœud Recouvrement par des cubes, par le même calcul ; on attribue chaque cube de centre $p$ au plus petit $l$ tel que $d_{A_l}(p) = \max_{l'} d_{A_{l'}}(p)$ , ce qui place le cube fermé dans $A_l$ , et $\chi_l$ est la somme des fonctions de la partition de l'unité des cubes attribués à $l$ . La nullité près de $W \setminus A_l$ se démontre comme dans ce nœud.

(ii) Rangées. On applique (i) aux cubes $B_j$ , $j \in J$ , de réunion $W_J$ . La forme $\chi_j\,\omega_{j\tau}$ , définie sur $B_j \cap B_\tau$ , se prolonge par $0$ en une forme de classe $C^\infty$ sur $B_\tau$ , puisque $\chi_j$ est nulle près de $B_\tau \setminus B_j$ , comme au nœud Partition pour deux ouverts, (ii). L'opérateur $h$ du nœud Čech-de Rham, (ii), avec ces fonctions et la somme sur $j \in J$ , est donc défini, et le calcul des identités, qui n'utilise que $\sum_j \chi_j = 1$ , est le même.

Colonnes. La démonstration du point (iii) du même nœud ne fait intervenir que les pavés $B_\sigma$ , et elle s'applique telle quelle. Le lemme du complexe double (Complexe double, (iv)) conclut.

(iii) Pour $J \subset J'$ , $N(J) \subset N(J')$ , et l'application qui oublie les composantes d'indice hors de $N(J)$ est un morphisme de complexes doubles $K(J') \to K(J)$ , sans restriction des formes, les pavés $B_\sigma$ étant les mêmes. Il commute à $\delta$ et à $d$ , et il envoie $r_{J'}(\omega)$ sur $r_J(\omega|_{W_J})$ ; de même pour $e$ . En cohomologie, les carrés formés par $r_*$ , $e_*$ et ces morphismes commutent, et donc aussi celui des $\Theta$ . Le même argument vaut de $K$ à $K(J)$ .

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Remarque

Le point (iii) est immédiat parce que les augmentations et les différentielles ne dépendent pas de la partition de l'unité : celle-ci ne sert qu'à démontrer l'exactitude des rangées. Deux partitions différentes, pour $U$ et pour $W_J$ , donnent donc des isomorphismes compatibles.

Repose sur

Théorème de de Rham en tout degré

Sert à

Cohomologie d'un ouvert et de ses réunions finies de cubes