Lemme 1Théorème de de Rham en tout degré

Le lemme du complexe double

Un complexe double $K$ est une famille d'espaces vectoriels réels $K^{p,q}$ , pour $p, q \in {\mathbb N}$ , munie d'applications linéaires $\delta : K^{p,q} \to K^{p+1,q}$ et $d : K^{p,q} \to K^{p,q+1}$ telles que $\delta\delta = 0$ , $dd = 0$ et $\delta d = d\delta$ . On pose $K^{p,q} = 0$ si $p$ ou $q$ est négatif. Le complexe total est $\operatorname{Tot}^n K = \bigoplus_{p+q=n} K^{p,q},$ muni de la différentielle $D$ égale à $\delta + (-1)^p d$ sur $K^{p,q}$ .

Une augmentation des rangées est un complexe de cochaînes $(A^q, d_A)$ et des applications linéaires $r : A^q \to K^{0,q}$ telles que $dr = rd_A$ . Les rangées sont exactes si, pour tout $q$ , la suite $\begin{aligned} 0 \to A^q &\xrightarrow{r} K^{0,q} \xrightarrow{\delta} K^{1,q} \\ &\xrightarrow{\delta} K^{2,q} \to \cdots \end{aligned}$ est exacte. De même, une augmentation des colonnes est un complexe $(E^p, \delta_E)$ et des $e : E^p \to K^{p,0}$ avec $\delta e = e\delta_E$ ; les colonnes sont exactes si les suites $0 \to E^p \to K^{p,0} \xrightarrow{d} K^{p,1} \to \cdots$ le sont.

Énoncé

(i) $D \circ D = 0$ . Si les rangées sont exactes, $r$ est un morphisme de complexes de $A$ dans $\operatorname{Tot} K$ ; si les colonnes le sont, $e$ en est un de $E$ dans $\operatorname{Tot} K$ .

(ii) Si les rangées sont exactes, $r$ induit des isomorphismes $H^n(A) \to H^n(\operatorname{Tot} K)$ pour tout $n$ .

(iii) Si les colonnes sont exactes, $e$ induit des isomorphismes $H^n(E) \to H^n(\operatorname{Tot} K)$ .

(iv) Si les deux le sont, $e_*^{-1} \circ r_*$ est un isomorphisme de $H^n(A)$ sur $H^n(E)$ .

Démonstration

(i) Pour $x \in K^{p,q}$ , $\begin{aligned} D^2x &= \delta\delta x + (-1)^{p+1}d\delta x \\ &\quad + (-1)^p\delta dx + dd x = 0, \end{aligned}$ puisque $d\delta = \delta d$ . Si les rangées sont exactes, $\delta r(a) = 0$ pour $a \in A^q$ , et $Dr(a) = dr(a) = r(d_Aa)$ . Si les colonnes sont exactes, $de(c) = 0$ pour $c \in E^p$ , et $De(c) = \delta e(c) = e(\delta_Ec)$ .

(ii) Écrivons $x \in \operatorname{Tot}^n K$ sous la forme $x = \sum_{p=0}^n x_p$ , avec $x_p \in K^{p,n-p}$ . La composante de $Dx$ dans $K^{p,n+1-p}$ est $\delta x_{p-1} + (-1)^p dx_p$ , avec $x_{-1} = x_{n+1} = 0$ .

Surjectivité. Soit $x$ un cocycle, et $m \geqslant 1$ tel que $x_p = 0$ pour $p > m$ . La composante de $Dx$ dans $K^{m+1,n-m}$ se réduit à $\delta x_m$ , qui est donc nul ; par exactitude de la rangée en $K^{m,n-m}$ , $x_m = \delta y$ pour un $y \in K^{m-1,n-m}$ . Le cocycle $x - Dy$ , cohomologue à $x$ , a ses composantes nulles pour $p \geqslant m$ , puisque $Dy = \delta y + (-1)^{m-1}dy$ .

En répétant ce pas pour $m = n, n - 1, \dots, 1$ , on se ramène à un cocycle $x = x_0 \in K^{0,n}$ . Alors $\delta x_0 = 0$ et $dx_0 = 0$ . Par exactitude, $x_0 = r(a)$ , et $r(d_Aa) = dx_0 = 0$ , d'où $d_Aa = 0$ , $r$ étant injective : $[x] = r_*[a]$ .

Injectivité. Soit $a \in A^n$ un cocycle tel que $r(a) = Dz$ , avec $z \in \operatorname{Tot}^{n-1}K$ . Si $n = 0$ , $z = 0$ , et $a = 0$ par injectivité de $r$ . Sinon, les composantes de $Dz$ d'indice $p \geqslant 1$ sont nulles, et le même pas, appliqué à $z$ , remplace $z$ par $z - Dy$ , qui a le même cobord, jusqu'à $z = z_0 \in K^{0,n-1}$ . Alors $\delta z_0 = 0$ , donc $z_0 = r(b)$ , et $r(a) = dz_0 = r(d_Ab)$ : $a = d_Ab$ , et $[a] = 0$ .

(iii) Soit $K^\top$ le complexe double transposé, $(K^\top)^{q,p} = K^{p,q}$ , où $d$ joue le rôle de $\delta$ et inversement. Ses rangées sont les colonnes de $K$ , augmentées par $E$ , et elles sont exactes.

Les espaces $\operatorname{Tot}^n K$ et $\operatorname{Tot}^n K^\top$ sont les mêmes, avec les différentielles $D$ et $D^\top = d + (-1)^q\delta$ sur $K^{p,q}$ . L'application $\varphi(x) = (-1)^{pq}x$ sur $K^{p,q}$ vérifie $\varphi D = D^\top\varphi$ : pour $x \in K^{p,q}$ , les deux membres valent $(-1)^{pq}dx + (-1)^{(p+1)q}\delta x.$ C'est donc un isomorphisme de complexes, et $\varphi \circ e = e$ , puisque $e$ est à valeurs dans les $K^{p,0}$ . Par (ii) appliqué à $K^\top$ , $e$ induit des isomorphismes de $H^n(E)$ sur $H^n(\operatorname{Tot}K^\top)$ , donc sur $H^n(\operatorname{Tot}K)$ .

(iv) découle de (ii) et (iii).

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Remarque

La démonstration de (ii) est une descente en escalier : on pousse un cocycle de l'extrémité droite de sa diagonale vers la colonne $p = 0$ , en retranchant à chaque marche un cobord, jusqu'à ce qu'il soit l'image d'un élément de $A$ .

Les espaces

K^{p,q}

sont aux points du quadrillage,

\delta

va vers la droite et

d

vers le haut. Un élément de

\operatorname{Tot}^3

a ses composantes sur la diagonale

p + q = 3

, en rouge. La composante

x_3

est un

\delta

; on la retire par le cobord de l'élément

y

situé à sa gauche, qui modifie la composante suivante, et ainsi de suite jusqu'à la colonne

p = 0

, que la flèche bleue

r

relie à

A

Remarque

Aucun choix n'intervient : chaque pas affirme l'existence d'un seul élément $y$ , et il y a au plus $n$ pas. Lorsque les rangées sont exactes « par une formule », c'est-à-dire qu'une application linéaire $h$ fournit les antécédents, la démonstration donne même une formule pour l'inverse de $r_*$ .

Remarque

Le lemme dit que $A$ et $E$ , qui n'ont rien de commun a priori, ont la même cohomologie dès qu'ils sont tous deux « résolus » par un même complexe double. C'est ainsi que la théorie des faisceaux compare les cohomologies, et c'est l'idée de la démonstration du théorème de de Rham qui suit, avec $A$ les formes, $E$ les cochaînes de Čech, et $K$ les formes sur les intersections des ouverts d'un recouvrement.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Le complexe de Čech-de Rham d'un recouvrement par des cubes