ChapitreCohomologie de de Rham

Théorème de de Rham en tout degré

Pour tout ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ et tout degré $k$, l'intégration des formes sur les simplexes singuliers lisses induit un isomorphisme de ${H^k}(U)$ sur la cohomologie des cochaînes lisses à valeurs réelles. La démonstration, due à Weil, compare les deux cohomologies à celle du nerf du recouvrement par les cubes, au moyen de deux complexes doubles : les formes sur les intersections de cubes, dont les rangées sont exactes grâce à une partition de l'unité et les colonnes grâce au lemme de Poincaré sur des pavés, et l'analogue pour les cochaînes. Aucun choix n'y intervient.

Sous la forme duale, une forme fermée est exacte si et seulement si ses intégrales sur les cycles lisses sont nulles, et toute famille de périodes compatible est atteinte ; le passage au dual de l'homologie utilise ici le lemme de Zorn, sauf en degré $0$ et pour l'injectivité en degré $1$ ; le nœud De Rham en degré 1 donne sans choix l'énoncé dual en degré $1$ pour l'homologie singulière continue.