Simplexes singuliers lisses et formule de Stokes

(i) Soit $\tilde\mu$ l'application affine qui prolonge $\mu$. L'ouvert $\tilde\mu^{-1}(W)$ contient $\Delta_m$, puisque $\mu(\Delta_m) \subset \Delta_k \subset W$, et $\tilde\sigma \circ \tilde\mu$, composée d'applications de classe $C^\infty$, l'est (Classe Cᵏ, (iii)) ; elle prolonge $\sigma \circ \mu$. Les faces $\delta_i$, qui insèrent un $0$, sont des restrictions d'applications linéaires : le bord d'un simplexe lisse est une chaîne lisse. Enfin $\varphi \circ \tilde\sigma$ prolonge $\varphi \circ \sigma$.

(ii) Image. Pour $s \in I^k$, les $t_m$ sont positifs, et leur somme est télescopique : $$\begin{aligned} &(1 - s_1) + s_1(1 - s_2) + \cdots \\ &\quad + s_1 \cdots s_k = 1. \end{aligned}$$ Donc $q_k(I^k) \subset \Delta_k \subset W$, et $\tilde\sigma \circ q_k$, définie sur l'ouvert $q_k^{-1}(W)$ qui contient $I^k$, prolonge $\sigma \circ q_k$.

Les faces. La face $(i, \varepsilon)$ du cube $q_k$ est $q_k \circ \iota_{i,\varepsilon}$, de signe $(-1)^{i+\varepsilon}$ dans le bord (Cubes singuliers). Notons $u = (u_1, \dots, u_{k-1})$ la variable de la face.

Face $(1, 1)$, de signe $+$ : $s_1 = 1$ donne $t_0 = 0$, et les autres coordonnées sont celles de $q_{k-1}(u)$ avec $u = (s_2, \dots, s_k)$ : c'est $\delta_0 \circ q_{k-1}$.

Face $(j, 1)$, pour $2 \leqslant j \leqslant k$, de signe $(-1)^{j+1} = (-1)^{j-1}$ : $s_j = 1$ donne $t_{j-1} = 0$. Avec $u = (s_1, \dots, \widehat{s_j}, \dots, s_k)$, on a $t_m = q_{k-1}(u)_m$ pour $m \leqslant j - 2$ et $t_m = q_{k-1}(u)_{m-1}$ pour $m \geqslant j$, puisque le facteur $s_j = 1$ disparaît des produits : c'est $\delta_{j-1} \circ q_{k-1}$.

Face $(k, 0)$, de signe $(-1)^k$ : $s_k = 0$ donne $t_k = 0$ et $t_{k-1} = s_1 \cdots s_{k-1}$, les autres coordonnées étant inchangées : c'est $\delta_k \circ q_{k-1}$.

Face $(j, 0)$, pour $1 \leqslant j \leqslant k - 1$, de signe $(-1)^j$ : $s_j = 0$ annule $t_m$ pour $m \geqslant j$, et $t_{j-1} = s_1 \cdots s_{j-1}$. Le résultat ne dépend pas des variables $u_j, \dots, u_{k-1}$ de la face, qui existent puisque $j \leqslant k - 1$ : le cube $c_j$ est dégénéré.

Toutes ces égalités sont des égalités d'applications $I^{k-1} \to \Delta_k$, et l'on compose par $\sigma$. Le calcul a été vérifié par un calcul formel pour $k \leqslant 4$.

(iii) Soit $\sigma$ un simplexe lisse de dimension $k \geqslant 1$. Par la formule de Stokes pour les cubes (Formule de Stokes) et (ii), $$\begin{aligned} \int_\sigma d\omega &= \int_{\partial(\sigma \circ q_k)} \omega \\ &= \sum_{i=0}^k (-1)^i\int_{\sigma \circ \delta_i} \omega \\ &\quad + \sum_{j=1}^{k-1} (-1)^j\int_{c_j} \omega. \end{aligned}$$ Pour $k \geqslant 2$, les cubes $c_j$, de dimension $k - 1 \geqslant 1$, sont dégénérés, et les intégrales correspondantes sont nulles (Intégrale sur une chaîne, (v)) ; pour $k = 1$, la seconde somme est vide. Il reste $\int_{\partial\sigma} \omega$, puisque $\partial\sigma = \sum_i (-1)^i\,\sigma \circ \delta_i$. On conclut par linéarité.

(iv) Pour $k = 0$, $\sigma \circ q_0$ est le point $\sigma(e_0)$, et l'intégrale d'une fonction sur un cube de dimension $0$ est sa valeur (Intégrale sur une chaîne). Pour $k = 1$, le chemin $\sigma \circ q_1$ est le chemin $\sigma \circ \alpha$ du nœud Intégration sur les chaînes, et les deux intégrales coïncident sur un chemin de classe $C^1$ (Intégrale sur une chaîne, (iii), et Intégrale le long d'un chemin continu, (ii)).