Intégration d'une forme fermée sur les chaînes singulières

(i) Soit $H(s, t) = \tau\big(1 - s,\ s(1 - t),\ st\big)$, continue sur $[0, 1]^2$, le triplet ayant des coordonnées positives de somme $1$. Ses côtés sont $$\begin{aligned} \beta(s) &= \tau(1 - s, s, 0) = (\tau \circ \delta_2 \circ \alpha)(s), \\ \rho(t) &= \tau(0, 1 - t, t) = (\tau \circ \delta_0 \circ \alpha)(t), \\ \theta(s) &= H(s, 1) = \tau(1 - s, 0, s) \\ &= (\tau \circ \delta_1 \circ \alpha)(s), \end{aligned}$$ et $\lambda$ est constant en $\tau(e_0)$. Par Invariance par homotopie, (i), $$0 = \int_{\tau\delta_2} \omega + \int_{\tau\delta_0} \omega - \int_{\tau\delta_1} \omega - 0 = \int_{\partial\tau} \omega,$$ puisque $\partial\tau = \tau\delta_0 - \tau\delta_1 + \tau\delta_2$.

(ii) Pour un simplexe $\sigma$, $\int_\sigma df = f(\sigma(e_1)) - f(\sigma(e_0))$ (Intégrale le long d'un chemin continu, (iv)), et $\partial \sigma = \sigma(e_1) - \sigma(e_0)$. Notons $F : C_0(U) \to \mathbb R$ le morphisme qui prolonge $f$ ; alors $\int_c df = F(\partial c)$ pour toute chaîne $c$, par additivité, et cette quantité est nulle si $\partial c = 0$.

(iii) Pour $\omega$ fermée, $c \mapsto \int_c \omega$ est un morphisme nul sur $B_1(U)$ par (i) : sa restriction à $Z_1(U)$ passe donc au quotient $H_1(U) = Z_1(U)/B_1(U)$ (Complexes de chaînes) : la formule $[z] \mapsto \int_z \omega$ est bien définie, puisque deux cycles de même classe diffèrent d'un bord, et c'est un morphisme.

L'application qui à $\omega$ associe ce morphisme est linéaire (Intégrale le long d'un chemin continu, (iii)) et nulle sur les formes exactes par (ii) ; elle passe au quotient $Z^1(U)/B^1(U) = H^1(U)$ (Espace quotient) par le même argument : si $\omega - \omega'$ est exacte, $\omega$ et $\omega'$ ont les mêmes intégrales sur les cycles.