Cochaînes lisses, intégration, petites chaînes et homotopies

(i) $\delta\delta f = f \circ \partial \circ \partial = 0$. Pour un simplexe lisse $\sigma$, la formule de Stokes (Simplexes lisses, (iii)) donne $$I(d\omega)(\sigma) = \int_{\partial\sigma} \omega = (\delta I\omega)(\sigma).$$ Un simplexe lisse de $U'$ est un simplexe lisse de $U$, et l'intégrale ne dépend que des valeurs de la forme sur son image. Un morphisme de complexes induit des applications en cohomologie (Complexes de chaînes, (ii)), linéaires puisque $I$ l'est.

(ii) Le nœud Petites chaînes fournit, sur $C(U)$, des morphismes $D$ et $\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$, avec $D\sigma = \sum_{i < m(\sigma)} TS^i\sigma$. Par Subdivision barycentrique, (iii), les simplexes de $S^i\sigma$ et de $TS^i\sigma$ sont de la forme $\sigma \circ \mu$, avec $\mu$ affine : ils sont lisses si $\sigma$ l'est, par Simplexes lisses, (i). Donc $D$ et $\rho$ envoient $C^\infty(U)$ dans lui-même, et $\rho$ l'envoie dans $C^{\infty,\mathcal U}(U)$, une chaîne de $C^{\mathcal U}(U)$ formée de simplexes lisses étant une combinaison de simplexes lisses à valeurs dans des éléments de $\mathcal U$.

Avec l'inclusion $\jmath : C^{\infty,\mathcal U}(U) \to C^\infty(U)$, on a $\rho\jmath = \mathrm{id}$ et $\jmath\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$ : par Complexes de chaînes, (iii), $\jmath$ et $\rho$ induisent en homologie des isomorphismes réciproques. Pour $f \in C^k(U)$, notons $D^*f = f \circ D$ et, pour $f \in C^k_{\mathcal U}(U)$, $\rho^*f = f \circ \rho$. Alors $R\rho^* = \mathrm{id}$ et $$\rho^*R f = f - (\delta f) \circ D - \delta(f \circ D),$$ c'est-à-dire $\rho^*R = \mathrm{id} - D^*\delta - \delta D^*$. Par Complexes de chaînes, (iii), lu pour les cochaînes, $R$ et $\rho^*$ induisent des applications réciproques en cohomologie.

(iii) L'opérateur prisme du nœud Invariance par homotopie, appliqué à la restriction de $F$ à $U \times [0, 1]$, associe à $\sigma$ la chaîne $\sum_i (-1)^i F \circ (\sigma \times \mathrm{id}) \circ \lambda_i$, où les $\lambda_i$ sont des simplexes affines de $\Delta_k \times [0, 1] \subset \mathbb R^{k+2}$. Si $\sigma$ est lisse, $F \circ (\tilde\sigma \times \mathrm{id}) \circ \tilde\lambda_i$ est de classe $C^\infty$ sur un ouvert de $\mathbb R^{k+2}$ qui contient $\Delta_{k+1}$ : chaque terme est un simplexe lisse.

L'identité $\partial P + P\partial = f_{1\#} - f_{0\#}$ est celle de ce nœud. En composant par une cochaîne $g$, $f_1^*g - f_0^*g = (\delta g) \circ P + \delta(g \circ P)$, et l'on conclut comme en (ii).

(iv) L'application $F$ est définie sur l'ouvert $W = \{(x, t) : b + t(x - b) \in B\}$, qui contient $B \times [0, 1]$ par convexité ; c'est une homotopie lisse de l'application constante $c_b$ à l'identité. Pour toute cochaîne $f$ de degré $q$, $$f - f \circ c_{b\#} = (\delta f) \circ P + \delta(f \circ P).$$ Comme $c_b \circ \gamma = \kappa_q$ pour tout simplexe $\gamma$ de dimension $q$, on a $f \circ c_{b\#} = f(\kappa_q)\,\mathbf 1_q$.

Pour $q = 0$, $P\partial = 0$, et un cocycle vérifie $f(x) - f(b) = (\delta f)(Px) = 0$ pour tout point $x$. Pour $q \geqslant 1$ et $\delta f = 0$, il reste $f = f(\kappa_q)\,\mathbf 1_q + \delta(f \circ P)$.

Or $(\delta\mathbf 1_{q-1})(\gamma) = \sum_{i=0}^q (-1)^i$ vaut $1$ si $q$ est pair et $0$ sinon : pour $q$ pair, $\mathbf 1_q = \delta\mathbf 1_{q-1}$. Pour $q$ impair, $\partial\kappa_{q+1} = \sum_{i=0}^{q+1} (-1)^i\kappa_q = \kappa_q$, et $f(\kappa_q) = (\delta f)(\kappa_{q+1}) = 0$. Dans les deux cas, $f = \delta g$.