Proposition 3Théorème de de Rham en tout degré

Le complexe de Čech des cochaînes lisses

On garde les notations des nœuds Čech-de Rham et Cochaînes lisses, avec $\mathcal U = \{B_i : i \in I\}$ . Un simplexe lisse de $B_\sigma$ est un simplexe lisse de $B_{\sigma^{(l)}}$ , et une cochaîne sur $B_{\sigma^{(l)}}$ se restreint à $B_\sigma$ .

Le complexe double $K'$ est formé des $K'^{p,q} = \prod_{\sigma \in N_p} C^q(B_\sigma)$ , avec la différentielle de Čech $\delta'$ , donnée par la même formule qu'au nœud Čech-de Rham, et le cobord $\delta$ des cochaînes en guise de différentielle verticale. Ses augmentations sont $r' : C^q_{\mathcal U}(U) \to K'^{0,q}$ , qui restreint une cochaîne aux simplexes de chaque $B_i$ , et $e' : \check C^p \to K'^{p,0}$ , qui envoie $c$ sur la famille des $0$ -cochaînes constantes égales à $c(\sigma)$ sur les points de $B_\sigma$ .

Pour un simplexe lisse $\gamma$ de $U$ à valeurs dans un cube, on note $m(\gamma)$ le plus petit indice $i$ , pour l'ordre du nœud Recouvrement par des cubes, (v), tel que $\gamma$ soit à valeurs dans $B_i$ .

Énoncé

(i) $K'$ est un complexe double, et $r'$ , $e'$ sont des augmentations de ses rangées et de ses colonnes.

(ii) Les rangées sont exactes : l'application $h' : K'^{p,q} \to K'^{p-1,q}$ , définie par $(h'f)_\tau(\gamma) = f_{m(\gamma)\tau}(\gamma)$ pour $\tau \in N_{p-1}$ et $\gamma$ simplexe de $B_\tau$ , et par $(h'f)(\gamma) = f_{m(\gamma)}(\gamma)$ pour $p = 0$ , vérifie les mêmes identités que l'application $h$ du nœud Čech-de Rham.

(iii) Les colonnes sont exactes.

(iv) L'intégration, composante par composante, est un morphisme de complexes doubles $I : K \to K'$ , et $I \circ r = r' \circ R \circ I, \qquad I \circ e = e',$ où, à droite de la première égalité, $I : \Omega^q(U) \to C^q(U)$ et $R$ est la restriction aux petits simplexes.

Démonstration

(i) Le calcul $\delta'\delta' = 0$ est celui du nœud Čech-de Rham, (i). Le cobord $\delta f = f \circ \partial$ commute aux restrictions, puisque le bord d'un simplexe de $B_\sigma$ est une chaîne de $B_\sigma$ ; donc $\delta\delta' = \delta'\delta$ , et $\delta r' = r'\delta$ . Les cochaînes de $e'(c)$ sont constantes sur les points, et $\delta'e' = e'\delta$ comme pour $e$ .

(ii) $h'$ est bien défini. Si $\gamma$ est un simplexe de $B_\tau$ , il est à valeurs dans $B_{m(\gamma)} \cap B_\tau$ , de sorte que $m(\gamma)\tau \in N_p$ et que $\gamma$ est un simplexe de $B_{m(\gamma)\tau}$ .

Les identités. Fixons $\gamma$ , et notons $m = m(\gamma)$ . Pour $p \geqslant 1$ et $\sigma \in N_p$ , le calcul du nœud Čech-de Rham, (ii), fait avec $m$ à la place de $j$ , donne $(\delta'f)_{m\sigma}(\gamma) = f_\sigma(\gamma) - \sum_{l=0}^p (-1)^l\,f_{m\sigma^{(l)}}(\gamma),$ c'est-à-dire $(h'\delta'f)_\sigma(\gamma) = f_\sigma(\gamma) - (\delta'h'f)_\sigma(\gamma)$ . Pour $p = 0$ , $(h'\delta'f)_i(\gamma) = f_i(\gamma) - f_m(\gamma) = f_i(\gamma) - (r'h'f)_i(\gamma)$ , et $h'r'f(\gamma) = f(\gamma)$ . L'exactitude s'en déduit comme au même nœud.

(iii) $e'$ est injective. Pour chaque $\sigma$ , le nœud Cochaînes lisses, (iv), appliqué au convexe $B_\sigma$ et à son centre $b_\sigma$ , montre qu'un $0$ -cocycle est constant, et fournit pour tout $q$ -cocycle, $q \geqslant 1$ , un antécédent $g_\sigma$ donné par une formule ; la famille $(g_\sigma)_\sigma$ est un antécédent dans $K'^{p,q-1}$ .

(iv) L'intégration commute à la restriction et à la différentielle (Cochaînes lisses, (i)), donc à $\delta'$ et à la différentielle verticale. Pour $\omega \in \Omega^q(U)$ , $I(\omega|_{B_i})$ est la restriction de $I(\omega)$ aux simplexes de $B_i$ . Enfin, l'intégrale d'une constante sur un point est cette constante (Simplexes lisses, (iv)).

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Remarque

L'opérateur $h'$ est plus simple que $h$ : là où les formes demandaient une partition de l'unité, pour répartir une forme entre les cubes, une cochaîne se contente d'attribuer chaque simplexe à un seul cube, le premier qui le contient. Cette attribution est sans choix, grâce à l'ordre fixé sur $I$ ; prendre « un cube qui contient $\gamma$ » pour chacun des simplexes serait un usage de l'axiome du choix.

Repose sur

Cochaînes lisses, intégration, petites chaînes et homotopies Le complexe de Čech-de Rham d'un recouvrement par des cubes

Sert à

Théorème de de Rham pour les ouverts de ℝⁿ