Théorème 3Théorème de de Rham en tout degré

Théorème de de Rham pour les ouverts de ℝⁿ

Énoncé

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ . Pour tout $k$ , l'intégration induit un isomorphisme $I_* : {H^k}(U) \to H^k_\infty(U)$ de la cohomologie de de Rham sur la cohomologie singulière lisse à coefficients réels (Cochaînes lisses). Autrement dit :

(i) une forme fermée $\omega$ de degré $k$ sur $U$ est exacte si et seulement si la cochaîne $\sigma \mapsto \int_\sigma \omega$ est un cobord $\delta g$ ;

(ii) pour toute cochaîne lisse $f$ de degré $k$ telle que $f(\partial\gamma) = 0$ pour tout simplexe lisse $\gamma$ de dimension $k + 1$ , il existe une forme fermée $\omega$ et une cochaîne $g$ telles que $\int_\sigma \omega = f(\sigma) + g(\partial\sigma)$ pour tout simplexe lisse $\sigma$ de dimension $k$ .

(iii) Pour $n \geqslant 2$ , $H^{n-1}_\infty(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ est de dimension $1$ , engendré par la classe de la cochaîne $\gamma \mapsto \int_\gamma \sigma_n$ , intégrale de la forme angle solide.

(iv) Cohomologie singulière. Soit $\iota^* : {H^k}(U; \mathbb R) \to H^k_\infty(U)$ l'isomorphisme induit par la restriction des cochaînes singulières réelles aux simplexes lisses (Lisse et continu, (iv)). Alors $(\iota^*)^{-1} \circ I_*$ est un isomorphisme de la cohomologie de de Rham $H^k(U)$ sur la cohomologie singulière $H^k(U; \mathbb R)$ des simplexes continus : la classe d'une forme fermée $\omega$ a pour image l'unique classe $\xi$ dont la restriction aux simplexes lisses est la classe de $\sigma \mapsto \int_\sigma \omega$ .

Aucun choix n'intervient.

Démonstration

Si $U$ est vide, tous les espaces sont nuls. Sinon, on reprend les complexes doubles $K$ et $K'$ des nœuds Čech-de Rham et Čech et cochaînes lisses, et l'on note $\operatorname{Tot}I$ le morphisme induit par $I : K \to K'$ sur les complexes totaux.

Le diagramme. Par le nœud Čech et cochaînes lisses, (iv), $\begin{CD} \Omega(U) @>r>> \operatorname{Tot}K @<e<< \check C \\ @V{RI}VV @VV{\operatorname{Tot}I}V @| \\ C_{\mathcal U}(U) @>r'>> \operatorname{Tot}K' @<e'<< \check C \end{CD}$ est commutatif : chaque carré exprime l'une des deux égalités de ce point.

Les flèches horizontales. Les rangées et les colonnes de $K$ et de $K'$ sont exactes (Čech-de Rham, (ii) et (iii), et Čech et cochaînes lisses, (ii) et (iii)). Par le lemme du complexe double (Complexe double), $r$ , $e$ , $r'$ et $e'$ induisent des isomorphismes en cohomologie.

Conclusion. Le carré de droite donne $(\operatorname{Tot}I)_* = e'_* \circ e_*^{-1}$ , qui est un isomorphisme ; celui de gauche, $(RI)_* = r'^{-1}_* \circ (\operatorname{Tot}I)_* \circ r_*$ , qui en est un aussi. Enfin $R$ induit un isomorphisme (Cochaînes lisses, (ii)), et $I_* = R_*^{-1} \circ (RI)_*$ .

Reformulations. (i) est l'injectivité de $I_*$ , le sens direct venant de $I(d\eta) = \delta I(\eta)$ . (ii) est sa surjectivité : $[f] = I_*[\omega]$ signifie $I(\omega) - f = \delta g$ .

(iii) Par Forme angle solide, (iii), $H^{n-1}(\mathbb R^n \setminus \{0\})$ est de dimension $1$ , engendré par $[\sigma_n]$ , et $I_*$ est un isomorphisme.

(iv) C'est la composée de deux isomorphismes, $I_*$ , qui en est un par ce qui précède, et la réciproque de $\iota^*$ , donnée par le nœud Lisse et continu, (iv) ; la description de l'image de $[\omega]$ est la définition de cette composée.

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Remarque

Le théorème réunit deux mondes. À gauche, des objets différentiels, formes et dérivées ; à droite, des objets combinatoires, des fonctions sur des simplexes. La seule passerelle est l'intégration, et le théorème dit qu'elle ne perd ni ne crée d'information en cohomologie : tout ce que l'on sait des « trous » de $U$ par les simplexes se lit dans les formes, et réciproquement.

Par exemple, (iii) et le nœud ℝⁿ privé de l'origine donnent la cohomologie singulière lisse de $\mathbb R^n \setminus \{0\}$ , sans aucun calcul sur les simplexes.

Remarque

Georges de Rham a démontré en 1931, pour les variétés compactes, que l'on peut prescrire les périodes d'une forme fermée sur les cycles, et qu'une forme fermée dont toutes les périodes sont nulles est exacte (« Sur l'analysis situs des variétés à n dimensions », thèse, Journal de mathématiques pures et appliquées (9) 10, 1931, p. 115-200). La démonstration par un complexe double est celle de Weil (1952), citée au nœud Čech-de Rham.

Remarque

Le degré $1$ a été traité au nœud De Rham en degré 1, avec l'homologie singulière continue et sous la forme duale, que le nœud suivant étend à tout degré. Pour une variété, la même démonstration s'applique à un recouvrement dont toutes les intersections finies sont difféomorphes à des convexes ; il faut alors des partitions de l'unité sur la variété, que construit le nœud Partitions de l'unité, et l'existence d'un tel recouvrement, qui n'est pas établie dans l'atlas. La cohomologie à support compact, qui mène à la dualité de Poincaré, n'est pas traitée dans ce chapitre : elle fait l'objet du chapitre suivant, Support compact et dualité de Poincaré.

Repose sur

Chaînes lisses et chaînes continues Le complexe de Čech des cochaînes lisses Mayer-Vietoris et homotopie

Sert à

Formes fermées et périodes sur les cycles lisses