Corollaire 1Théorème de de Rham en tout degré

Formes fermées et périodes sur les cycles lisses ⋆

⋆ Axiome du choix

Le point (ii), et par lui le point (iii) en degré $k \geqslant 1$ , utilisent le lemme de Zorn (Lemme de Zorn), pour prolonger des morphismes à valeurs dans $\mathbb R$ . Le point (i), le théorème qui précède, le point (iii) en degré $0$ et, en degré $1$ , l'injectivité de (iii) n'utilisent aucun choix ; la surjectivité en degré $1$ passe par le lemme de Zorn.

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ . On note $H^\infty_k(U)$ l'homologie du complexe $C^\infty(U)$ des chaînes lisses (Simplexes lisses), et, pour une forme fermée $\omega$ de degré $k$ , $\Phi[\omega]$ l'application $[z] \mapsto \int_z \omega$ , définie sur $H^\infty_k(U)$ .

Énoncé

(i) $\Phi[\omega]$ est un morphisme bien défini, et $\Phi : {H^k}(U) \to \operatorname{Hom}(H^\infty_k(U), \mathbb R)$ est une application linéaire.

(ii) Soit $C$ un groupe abélien, $A$ un sous-groupe et $f : A \to {\mathbb R}$ un morphisme. Il existe un morphisme $C \to \mathbb R$ qui prolonge $f$ .

(iii) $\Phi$ est un isomorphisme : une forme fermée dont l'intégrale est nulle sur tout cycle lisse est exacte, et tout morphisme $H^\infty_k(U) \to \mathbb R$ est de la forme $\Phi[\omega]$ .

(iv) Pour $k = 1$ , le nœud De Rham en degré 1 établit sans choix l'énoncé analogue pour l'homologie singulière $H_1(U)$ , et l'injectivité de (iii) en découle sans choix.

Démonstration

(i) Si $z$ est un cycle, et $z' = z + \partial c$ , la formule de Stokes (Simplexes lisses, (iii)) donne $\int_{\partial c} \omega = \int_c d\omega = 0$ ; si $\omega = d\eta$ , $\int_z \omega = \int_{\partial z} \eta = 0$ . L'application est linéaire en $\omega$ et additive en $z$ .

(ii) Soit $\mathcal E$ l'ensemble des couples $(B, g)$ , où $B$ est un sous-groupe de $C$ contenant $A$ et $g : B \to \mathbb R$ un morphisme qui prolonge $f$ , ordonné par prolongement. Il contient $(A, f)$ , qui majore la chaîne vide, et il est inductif : une chaîne non vide a pour majorant la réunion de ses domaines, munie du morphisme qui les prolonge tous. Le lemme de Zorn (Lemme de Zorn) fournit un élément maximal $(B, g)$ .

Supposons $B \neq C$ , et soit $x \in C \setminus B$ . Les entiers $m$ tels que $mx \in B$ forment un sous-groupe $m_0\mathbb Z$ de $\mathbb Z$ . Posons $\lambda = g(m_0x)/m_0$ si $m_0 > 0$ , et $\lambda = 0$ si $m_0 = 0$ , et $g'(b + mx) = g(b) + m\lambda$ sur $B + \mathbb Zx$ .

C'est bien défini : si $b + mx = b' + m'x$ , alors $(m - m')x = b' - b \in B$ , donc $m - m' = m_0l$ , et $g(b' - b) = l\,g(m_0x) = (m - m')\lambda$ . C'est un morphisme qui prolonge $g$ strictement, ce qui contredit la maximalité. Donc $B = C$ .

(iii) Par le théorème (De Rham en tout degré), $I_*$ est un isomorphisme, et $\Phi = \mathrm{ev} \circ I_*$ , où $\mathrm{ev}[f]([z]) = f(z)$ ; il suffit de montrer que $\mathrm{ev} : H^k_\infty(U) \to \operatorname{Hom}(H^\infty_k(U), \mathbb R)$ est bijective. Notons $Z_k$ et $B_k$ les cycles et les bords de $C^\infty(U)$ .

En degré $0$ , tout élément de $C^\infty_0(U)$ est un cycle, et $B_{-1} = 0$ : la surjectivité prend $f = \varphi \circ [\cdot]$ , et un cocycle nul sur $Z_0$ est nul, sans prolongement ni choix. On suppose désormais $k \geqslant 1$ .

Surjectivité. Soit $\varphi$ un morphisme de $H^\infty_k(U)$ dans $\mathbb R$ . Par (ii), le morphisme $z \mapsto \varphi([z])$ de $Z_k$ se prolonge en une cochaîne $f \in C^k(U)$ . Pour $\gamma$ de dimension $k + 1$ , $(\delta f)(\gamma) = \varphi([\partial\gamma]) = 0$ : $f$ est un cocycle, et $\mathrm{ev}[f] = \varphi$ .

Injectivité. Soit $f$ un cocycle nul sur $Z_k$ . La formule $g(\partial c) = f(c)$ définit un morphisme sur $B_{k-1}$ : si $\partial c = \partial c'$ , $c - c'$ est un cycle, et $f(c) = f(c')$ . Par (ii), $g$ se prolonge à $C^\infty_{k-1}(U)$ , et $f = g \circ \partial = \delta g$ est un cobord.

(iv) La démonstration de l'injectivité au nœud De Rham en degré 1 n'intègre que sur des cycles formés de segments, qui sont des chaînes lisses ; l'intégrale du nœud Intégration sur les chaînes y coïncide avec celle de ce chapitre (Simplexes lisses, (iv)). Une forme fermée de degré $1$ dont l'intégrale est nulle sur tout cycle lisse est donc exacte, sans choix.

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Remarque

Le choix n'intervient que pour passer de la cohomologie des cochaînes au dual de l'homologie, et pas dans la comparaison des formes et des cochaînes. Il n'est sans doute pas indispensable : les chaînes du nerf du nœud Čech-de Rham forment des groupes libres sur des ensembles dénombrables, qu'une bijection fixée avec $\mathbb N$ ordonne, et le prolongement de (ii) s'y fait par récurrence, sans choix. Une comparaison de l'homologie lisse avec celle du nerf, par un complexe double en homologie, permettrait d'en déduire (iii) sans choix ; elle n'est pas faite ici.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la surjectivité de (iii) est évidente, parce qu'« on prescrit les intégrales sur une base des cycles ». Les cycles ne forment pas un espace vectoriel muni d'une base donnée ; prolonger une forme linéaire depuis les cycles jusqu'à toutes les chaînes est exactement ce que fait le point (ii), et c'est là qu'est le lemme de Zorn.

Remarque

Pour $U = \mathbb R^n \setminus \{0\}$ et $k = n - 1$ , (iii) dit qu'une forme fermée de degré $n - 1$ est exacte si et seulement si son intégrale est nulle sur tout cycle lisse. Le nœud Forme angle solide donne mieux, et sans choix : il suffit de tester sur un seul cycle cubique, le bord du cube $[-1, 1]^n$ .

Remarque

L'homologie lisse $H^\infty_k(U)$ n'est pas un invariant nouveau : l'inclusion des chaînes lisses dans les chaînes continues induit un isomorphisme de $H^\infty_k(U)$ sur l'homologie singulière $H_k(U)$ (Lisse et continu, (iii)). Le point (iii) identifie donc aussi $H^k(U)$ au dual réel de l'homologie singulière, avec le même usage du lemme de Zorn, décrit plus haut ; une classe $[z]$ de $H_k(U)$ s'y évalue sur le cycle lisse $s(z)$ qui lui est homologue.

Repose sur

Théorème de de Rham pour les ouverts de ℝⁿ Théorème de de Rham en degré 1

Sert à

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