Théorème de de Rham en degré 1

(i) Supposons $\int_z \omega = 0$ pour tout cycle $z$. Soit $\gamma$ un chemin fermé formé de segments $[p_0, p_1], \dots, [p_{m-1}, p_m]$, avec $p_m = p_0$, et $\sigma_k$ le simplexe affine $t \mapsto t_0p_{k-1} + t_1p_k$ de $\Delta_1$ dans $U$.

La chaîne $z = \sum_k \sigma_k$ a pour bord $\sum_k (p_k - p_{k-1}) = 0$ ; c'est un cycle, et $\int_z \omega = \sum_k \int_{[p_{k-1}, p_k]} \omega$ est l'intégrale de $\omega$ le long de $\gamma$ au sens du nœud Intégrale d'une 1-forme (Intégrale le long d'un chemin continu, (ii)). Elle est donc nulle.

Disons que deux points de $U$ sont liés s'ils sont reliés par une ligne brisée contenue dans $U$ ; c'est une relation d'équivalence, par concaténation et renversement des lignes. Chaque classe $V$ est ouverte : une boule centrée en un point $y$ de $V$ et contenue dans $U$ est convexe, et ses points sont liés à $y$ par un segment.

Fixons une bijection de ${\mathbb N}$ sur ${\mathbb Q^n}$ (ℚ est dénombrable, (ii)). Chaque classe $V$, ouverte et non vide, contient une boule, produit d'intervalles ouverts, donc un point de $\mathbb Q^n$, $\mathbb Q$ étant dense dans $\mathbb R$ (Densité de ℚ), et l'on note $x_V$ le premier d'entre eux dans cette énumération.

Pour $x \in V$, posons $f(x) = \int_\gamma \omega$, où $\gamma$ est une ligne brisée de $x_V$ à $x$ dans $U$ : la valeur ne dépend pas de $\gamma$, deux telles lignes formant un chemin fermé, d'intégrale nulle.

Pour $x \in V$ et $t$ assez petit, le segment $[x, x + te_j]$ est dans une boule contenue dans $V$, et, en prolongeant la ligne par ce segment, $$f(x + te_j) - f(x) = \int_0^t \omega_{x + se_j}(e_j)\,ds\,;$$ par le théorème fondamental (Théorème fondamental), $\partial_j f(x) = \omega_x(e_j)$.

Les dérivées partielles de $f$ sont les coefficients de $\omega$, continus, donc $f$ est de classe $C^1$ (Classe Cᵏ, (i)) ; comme $df = \omega$ est de classe $C^\infty$, $f$ l'est, par la définition récursive de la classe $C^{k+1}$, et $df = \omega$ : $\omega$ est exacte, et $\Phi$ est injective. La construction ne fait aucun choix, l'énumération de $\mathbb Q^n$ étant fixée une fois pour toutes.

Linéaire, injective et surjective (Surjectivité), $\Phi$ est un isomorphisme.

(ii) Soit $U = \mathbb R^2 \setminus \{0\}$, $r(x) = x/\|x\|_2$ et $\iota$ l'inclusion du cercle ${S^1}$ dans $U$. On a $r \circ \iota = \mathrm{id}$, et $\iota \circ r$ est homotope à l'identité de $U$ par $$F(x, t) = (1 - t)x + t\,\frac{x}{\|x\|_2},$$ qui ne s'annule pas, comme multiple strictement positif de $x$.

Donc $H_1(U) \cong H_1(S^1) \cong {\mathbb Z}$ (Invariance par homotopie, (ii), et Homologie des sphères).

Un morphisme de $\mathbb Z$ dans $\mathbb R$ est déterminé par l'image de $1$ : $\operatorname{Hom}(H_1(U), \mathbb R)$ est de dimension $1$. Par (i), $\dim H^1(U) \leqslant 1$, et $H^1(U) \neq \{0\}$ (Cohomologie de de Rham, (iii)) : la dimension vaut $1$.

La forme $$\omega_0 = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2},$$ fermée et non exacte, engendre donc $H^1(U)$ : toute forme fermée s'écrit $\omega = c\,\omega_0 + df$, avec $c$ réel.

Notons $\int_\square$ l'intégrale sur le bord du carré $[-1, 1]^2$ parcouru dans le sens direct, qui vaut $c\int_\square \omega_0$ pour cette forme, l'intégrale de $df$ sur un chemin fermé étant nulle. Comme $$\int_\square \omega_0 = 4\int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} > 0$$ (Intégrale d'une 1-forme, remarque), $\omega$ est exacte si et seulement si $c = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $\int_\square \omega = 0$.