Chaînes lisses et chaînes continues

(i) Les sommets $\gamma(e_j)$ sont dans le convexe $B$, donc aussi les points $\alpha\gamma(x) = \sum_j x_j\gamma(e_j)$ (Subdivision barycentrique, texte). Pour $(x, t) \in \Delta_k \times [0, 1]$, le point $\Psi_\gamma(x, t)$ est sur le segment qui joint $\alpha\gamma(x)$ à $\gamma(x)$, deux points de $B$ : il est dans $B$. Les coordonnées de $\Psi_\gamma$ sont des sommes de produits de fonctions continues de $(x, t)$, les projections de $\mathbb R^{k+2}$ étant continues (Topologie produit) ; $\Psi_\gamma$ est donc continue (Chemins, (ii)). Composée avec les simplexes affines $\lambda_i = [v_0, \dots, v_i, w_i, \dots, w_k]$ de $\Delta_k \times [0, 1]$, qui est convexe, elle donne des simplexes singuliers de $U$ à valeurs dans $B$.

Lissité. L'application linéaire $L : \mathbb R^{k+1} \to \mathbb R^n$, $x \mapsto \sum_j x_j\gamma(e_j)$, est de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (ii)) ; sa restriction à l'ouvert $L^{-1}(U)$, qui contient $\Delta_k$, prolonge $\alpha\gamma$, qui est donc lisse. Si $\gamma$ est lisse, prolongée par $\tilde\gamma : W \to U$, l'application $\tilde\Psi(x, t) = (1 - t)L(x) + t\tilde\gamma(x)$ est de classe $C^\infty$ sur l'ouvert $W \times \mathbb R$ de $\mathbb R^{k+2}$ (même nœud, (ii) et (iii)). Sur l'ouvert $O = \tilde\Psi^{-1}(U)$, qui contient $\Delta_k \times [0, 1]$ puisque $\tilde\Psi$ y coïncide avec $\Psi_\gamma$, elle prolonge $\Psi_\gamma$. Chaque $\lambda_i$ est la restriction d'une application affine $\tilde\lambda_i$ de $\mathbb R^{k+2}$ dans lui-même, et $\tilde\Psi \circ \tilde\lambda_i$, de classe $C^\infty$ sur l'ouvert $\tilde\lambda_i^{-1}(O)$, qui contient $\Delta_{k+1}$, prolonge $\Psi_\gamma \circ \lambda_i$ : c'est un simplexe lisse, comme au nœud Cochaînes lisses, (iii).

Ainsi les simplexes de $Q\gamma$, à valeurs dans $B$, sont des générateurs de $C^{\mathcal U}(U)$, et $\alpha\gamma$ ainsi que, si $\gamma$ est lisse, les simplexes de $Q\gamma$ sont des générateurs de $C^{\infty,\mathcal U}(U)$.

(ii) $\alpha$ commute au bord. La face $\delta_i$ envoie $e_l$ sur $e_l$ si $l < i$ et sur $e_{l+1}$ si $l \geqslant i$ : les sommets de $\gamma \circ \delta_i$, qui est encore à valeurs dans $B$, sont ceux de $\gamma$ privés de $\gamma(e_i)$. Par la formule des faces d'un simplexe affine (Subdivision barycentrique, texte), $$\begin{aligned} \alpha\gamma \circ \delta_i &= [\gamma(e_0), \dots, \widehat{\gamma(e_i)}, \dots, \gamma(e_k)] \\ &= \alpha(\gamma \circ \delta_i), \end{aligned}$$ et, en sommant avec les signes, $\partial\alpha\gamma = \alpha\partial\gamma$ pour $k \geqslant 1$ ; en degré $0$, les deux membres sont nuls.

L'homotopie. Le calcul de $\partial P\sigma$, dans la démonstration du nœud Invariance par homotopie, (i), n'utilise des applications $\Phi_\sigma = F \circ (\sigma \times \mathrm{id})$ que trois propriétés : $\Phi_\sigma \circ [v_0, \dots, v_n] = f \circ \sigma$, $\Phi_\sigma \circ [w_0, \dots, w_n] = g \circ \sigma$, et $\Phi_{\sigma \circ \delta_j} = \Phi_\sigma \circ (\delta_j \times \mathrm{id})$ ; le reste porte sur les simplexes affines de $\Delta_n \times [0, 1]$. Les applications $\Psi_\gamma$ ont les trois propriétés, avec $\alpha\gamma$ à la place de $f \circ \sigma$ et $\gamma$ à la place de $g \circ \sigma$. En effet, $[v_0, \dots, v_k](x) = (x, 0)$ et $[w_0, \dots, w_k](x) = (x, 1)$, de sorte que $\Psi_\gamma \circ [v_0, \dots, v_k] = \alpha\gamma$ et $\Psi_\gamma \circ [w_0, \dots, w_k] = \gamma$ ; et, par l'égalité précédente, $$\begin{aligned} \Psi_{\gamma \circ \delta_j}(x, t) &= (1 - t)\,\alpha\gamma(\delta_jx) + t\,\gamma(\delta_jx) \\ &= \Psi_\gamma(\delta_jx, t). \end{aligned}$$ Le même calcul donne donc $\partial Q\gamma = \gamma - \alpha\gamma - Q\partial\gamma$, d'où la première identité par linéarité. Si $\gamma$ est lisse, tous les termes sont dans $C^{\infty,\mathcal U}(U)$ par (i), ce qui donne la seconde.

(iii) Le nœud Petites chaînes fournit un morphisme $D : C_k(U) \to C_{k+1}(U)$ tel que $\rho\jmath = \mathrm{id}$ et $\jmath\rho = \mathrm{id} - \partial D - D\partial$. Par Cochaînes lisses, (ii), $D$ envoie $C^\infty(U)$ dans lui-même et $\rho$ l'envoie dans $C^{\infty,\mathcal U}(U)$ ; notons $D_\infty$ et $\rho_\infty$ les morphismes induits, de sorte que $\rho\iota = \kappa\rho_\infty$ et $\jmath_\infty\rho_\infty = \mathrm{id} - \partial D_\infty - D_\infty\partial$. Le morphisme $s$ est une composée de morphismes de complexes.

La composée $\iota s$. Comme $\iota\jmath_\infty = \jmath\kappa$, inclusion de $C^{\infty,\mathcal U}(U)$ dans $C(U)$, et que $\kappa\alpha = \mathrm{id} - \partial Q - Q\partial$ par (ii), les morphismes $\jmath$ et $\rho$ commutant au bord, $$\begin{aligned} \iota s &= \jmath\kappa\alpha\rho = \jmath\rho - \partial(\jmath Q\rho) - (\jmath Q\rho)\partial \\ &= \mathrm{id} - \partial E - E\partial, \quad E = D + \jmath Q\rho. \end{aligned}$$

La composée $s\iota$. De même, $\alpha\kappa = \mathrm{id} - \partial Q - Q\partial$ sur $C^{\infty,\mathcal U}(U)$, donc $$\begin{aligned} s\iota &= \jmath_\infty\alpha\kappa\rho_\infty = \jmath_\infty\rho_\infty - \partial E' - E'\partial \\ &= \mathrm{id} - \partial E'' - E''\partial, \end{aligned}$$ avec $E' = \jmath_\infty Q\rho_\infty$ et $E'' = D_\infty + E'$. Par Complexes de chaînes, (iii), $\iota_*s_*$ et $s_*\iota_*$ sont les identités.

(iv) Par transposition (Complexes de cochaînes, (i)), $\iota^\#$ et $s^\#$ sont des morphismes de complexes de cochaînes, $s^\#\iota^\# = (\iota s)^\#$ et $\iota^\#s^\# = (s\iota)^\#$, et les égalités de (iii) donnent $\delta E^\# + E^\#\delta = \mathrm{id} - s^\#\iota^\#$ et $\delta E''^\# + E''^\#\delta = \mathrm{id} - \iota^\#s^\#$. Les composées induisent donc l'identité en cohomologie, et $\iota^*$, $s^*$ sont réciproques. Le complexe $\operatorname{Hom}(C(U), G)$ est celui des cochaînes singulières $C(U; G)$ (Cohomologie singulière).

Pour $G = \mathbb R$, $\operatorname{Hom}(C^\infty_k(U), \mathbb R)$ est l'espace $C^k(U)$ du nœud Cochaînes lisses, avec le même cobord $\delta f = f \circ \partial$ ; la restriction $\iota^\#$ est linéaire, et les isomorphismes qu'elle induit le sont aussi.