Lemme 2Théorème de de Rham en tout degré

Une partition de l'unité à supports dans les cubes

Soit $U$ un ouvert non vide de ${\mathbb R^n}$ , et $B_i = B_\infty(p_i, r_i)$ , $i \in I$ , les cubes du nœud Recouvrement par des cubes. On note $B'_i = B_\infty(p_i, r_i/2)$ , $\overline{B}{}'_i = \{y : \|y - p_i\|_\infty \leqslant r_i/2\}$ , et $\psi'_i = \psi_{p_i, r_i/2}$ la fonction plateau du nœud Fonctions plateau.

Énoncé

(i) Les demi-cubes $B'_i$ recouvrent $U$ .

(ii) La fonction $S' = \sum_i \psi'_i$ est bien définie, de classe $C^\infty$ et strictement positive sur $U$ . Les fonctions $\chi'_i = \psi'_i/S'$ forment une partition de l'unité subordonnée à $(B_i)$ ; $\chi'_i$ est nulle hors de $\overline{B}{}'_i$ , qui est contenu dans $B_i$ .

(iii) Soit $O$ un ouvert contenu dans $U$ et, pour chaque $i$ , une forme $\eta_i$ de degré $k$ sur $O \cap B_i$ . Notons $\chi'_i\eta_i$ la forme sur $O$ égale à $\chi'_i\eta_i$ sur $O \cap B_i$ et à $0$ ailleurs. C'est une forme de classe $C^\infty$ sur $O$ , la somme $\sum_i \chi'_i\eta_i$ n'a, au voisinage de chaque point, qu'un nombre fini de termes non nuls, et c'est une forme de classe $C^\infty$ sur $O$ .

Démonstration

(i) Par Recouvrement par des cubes, (ii), tout point $x$ de $U$ vérifie $\|x - p_i\|_\infty \leqslant r_i/4 < r_i/2$ pour un indice $i$ .

(ii) La fonction $\psi'_i$ est de classe $C^\infty$ , strictement positive sur $B'_i$ et nulle ailleurs (Fonctions plateau, (ii)). Comme $B'_i \subset B_i$ , sur chaque voisinage $W_x$ du nœud Recouvrement par des cubes, (iii), seuls un nombre fini de $\psi'_i$ ne sont pas nulles. La démonstration du nœud Partition de l'unité, (ii) et (iii), s'applique alors mot pour mot, la positivité de $S'$ venant de (i). Enfin $\psi'_i$ , donc $\chi'_i$ , est nulle hors de $B'_i \subset \overline{B}{}'_i$ ; le cube fermé $\overline{B}{}'_i$ contient donc l'adhérence de $\{\chi'_i \neq 0\}$ , et $\overline{B}{}'_i \subset B_i$ puisque $r_i/2 < r_i$ .

(iii) Les ouverts $O \cap B_i$ et $O \setminus \overline{B}{}'_i$ recouvrent $O$ . Sur le premier, la forme vaut $\chi'_i\eta_i$ , de classe $C^\infty$ ; sur le second, elle vaut $0$ ; et sur leur intersection, $\chi'_i$ est nulle, si bien que les deux expressions coïncident. Elle est donc de classe $C^\infty$ sur $O$ (Partition de l'unité, (i)).

Pour la somme, chaque point $x$ de $O$ a le voisinage ouvert $W_x \cap O$ , sur lequel seuls un nombre fini de $\chi'_i$ ne sont pas nulles : la somme y est finie, donc de classe $C^\infty$ , et l'on conclut par le même point (i) du nœud Partition de l'unité.

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Remarque

La partition $(\chi_i)$ du nœud Partition de l'unité ne suffit pas ici. Elle est strictement positive sur tout le cube $B_i$ : si $\eta_i$ explose au bord de $B_i$ , par exemple comme l'inverse de la distance à ce bord, le produit $\chi_i\eta_i$ n'a aucune raison de se prolonger par $0$ . Le demi-cube laisse une marge entre le support de $\chi'_i$ et le bord de $B_i$ , et c'est cette marge qui permet le prolongement.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Le complexe de Čech-de Rham d'un recouvrement par des cubes