Changement de variables sur le demi-espace

(i) Deux pavés de cette forme qui contiennent le support sont contenus dans un troisième de la même forme, et le lemme de Chasles du nœud Changement de variables, (i), donne l'indépendance. La linéarité, la croissance et le prolongement s'en déduisent comme en ce nœud. Si le support $K$ de $f$ est contenu dans $\mathring{\mathbb H}^n$, il est le support de la restriction de $f$ à l'ouvert $B \cap \mathring{\mathbb H}^n$ de $\mathbb R^n$, et le prolongement de celle-ci par $0$ à $\mathbb R^n$ coïncide avec $\hat f$ sur $P$.

(ii) Le support. Comme au nœud Changement de variables, (ii), $\det d\tau$ ne s'annule pas (Variétés à bord, (i)), et $g = (f \circ \tau)\,|\det d\tau|$ est continue, de support $L$ contenu dans le compact $\tau^{-1}(K)$, où $K$ est le support de $f$ ; $L$ est donc compact.

Une minoration de $\tau_n$. Posons $q(x) = \tau_n(x)/x_n$ si $x_n > 0$, et $q(x) = \partial_n\tau_n(x)$ si $x_n = 0$. La fonction $q$ est strictement positive sur $A$ : $\tau$ envoie $A \cap \mathring{\mathbb H}^n$ dans $\mathring{\mathbb H}^n$, et $\partial_n\tau_n > 0$ sur $A \cap \partial\mathbb H^n$ (Variétés à bord, (ii) ; pour $n = 1$, la même démonstration donne $\tau'(0) > 0$).

Elle est continue. C'est clair en un point de $A \cap \mathring{\mathbb H}^n$. Soit $a \in A \cap \partial\mathbb H^n$, $T$ un prolongement de $\tau_n$ sur un ouvert $O \ni a$, et $\varepsilon > 0$ tel que $B_\infty(a, \varepsilon) \subset O$ et $B_\infty(a, \varepsilon) \cap \mathbb H^n \subset A$. Pour $x$ dans $B_\infty(a, \varepsilon) \cap \mathbb H^n$, le segment qui joint $(x', 0)$ à $x$ y est contenu, et $T(x', 0) = \tau_n(x', 0) = 0$. Le théorème fondamental (Théorème fondamental), appliqué à $s \mapsto T(x', s\,x_n)$, donne, si $x_n > 0$, $$q(x) = \int_0^1 \partial_n T(x', s\,x_n)\,ds,$$ par le même argument qu'au nœud Intégrales itérées, (iii) (une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, Signe de la dérivée, (ii)) ; la formule vaut encore si $x_n = 0$. La fonction $(s, x) \mapsto \partial_n T(x', s\,x_n)$ est continue sur le produit de $[0, 1]$ et du compact $\{x \in \mathbb H^n : \|x - a\|_\infty \leqslant \varepsilon/2\}$, et le nœud Intégrales itérées, (i), montre que $q$ est continue sur ce compact, donc au voisinage de $a$ dans $A$.

Si $L$ est vide, tout est nul. Sinon $q$ atteint sur le compact $L$ une borne inférieure $c > 0$ (Compacts de ℝ, (iii)), et $$\tau_n(x) \geqslant c\,x_n \quad \text{pour tout } x \in L.$$

Troncature. Pour $\varepsilon > 0$, soit $h_\varepsilon$ la fonction sur $[0, +\infty[$ nulle sur $[0, \varepsilon]$, égale à $\frac{u - \varepsilon}\varepsilon$ sur $[\varepsilon, 2\varepsilon]$ et à $1$ au-delà ; elle est continue et croissante, et $\int_0^b (1 - h_\varepsilon) \leqslant \frac{3\varepsilon}2$ pour tout $b > 0$. La fonction $f_\varepsilon(y) = f(y)\,h_\varepsilon(y_n)$ a son support dans $K \cap \{y_n \geqslant \varepsilon\}$, compact contenu dans l'ouvert $B^\circ = B \cap \mathring{\mathbb H}^n$ de $\mathbb R^n$. Par Variétés à bord, (ii), $\tau$ induit un difféomorphisme de $A^\circ = A \cap \mathring{\mathbb H}^n$ sur $B^\circ$, et le nœud Changement de variables, (ii), avec (i), donne $$\int_B f_\varepsilon = \int_A g\,(h_\varepsilon \circ \tau_n).$$

Passage à la limite. Soit $P = P' \times [0, b]$ et $Q = Q' \times [0, b']$ deux pavés de la forme de la définition, contenant respectivement $K$ et $L$, et $M_f$, $M_g$ des majorants de $|f|$ et de $|g|$. D'une part, par la croissance de l'intégrale, $$\begin{aligned} &\Big|\int_B f - \int_B f_\varepsilon\Big| \\ &\quad \leqslant M_f\,v(P')\int_0^b (1 - h_\varepsilon) \\ &\quad \leqslant \frac32\,M_f\,v(P')\,\varepsilon. \end{aligned}$$ D'autre part, pour $x \in L$ tel que $x_n \geqslant 2\varepsilon/c$, on a $\tau_n(x) \geqslant 2\varepsilon$ et $h_\varepsilon(\tau_n(x)) = 1$ ; comme $1 - h_{2\varepsilon/c}(x_n) = 1$ si $x_n \leqslant 2\varepsilon/c$, et que $g$ est nulle hors de $L$, $$\begin{aligned} 0 &\leqslant |g|\,(1 - h_\varepsilon \circ \tau_n) \\ &\leqslant M_g\,\big(1 - h_{2\varepsilon/c}(x_n)\big) \end{aligned}$$ sur $A$, d'où $$\begin{aligned} &\Big|\int_A g - \int_A g\,(h_\varepsilon \circ \tau_n)\Big| \\ &\quad \leqslant \frac{3M_g\,v(Q')\,\varepsilon}{c}. \end{aligned}$$ Les deux membres de (ii) diffèrent donc d'au plus une constante fois $\varepsilon$, pour tout $\varepsilon > 0$ : ils sont égaux. Aucun choix n'intervient.