Lemme 1Intégration sur les variétés et formule de Stokes

Décomposition locale d'un difféomorphisme

Dans ce chapitre, $n \geqslant 1$ , et un difféomorphisme est un C^\infty-difféomorphisme entre ouverts de ${\mathbb R^n}$ (Inversion locale). On écrit $x = (x', x_n)$ , avec $x' = (x_1, \dots, x_{n-1})$ . Un difféomorphisme $h : U \to V$ est primitif s'il ne change qu'une coordonnée : il existe un indice $i$ tel que $h_l(x) = x_l$ pour tout $l \neq i$ et tout $x \in U$ .

Pour une bijection $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$ sur lui-même, on note $P_\sigma(x) = (x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)})$ la permutation des coordonnées qu'elle définit. C'est un isomorphisme linéaire, de réciproque $P_{\sigma^{-1}}$ . Sa matrice a pour lignes celles de la matrice identité, dans un autre ordre ; des échanges de lignes la ramènent à l'identité, et chacun change le signe du déterminant (Déterminant d'une matrice, (iii)) : $|\det P_\sigma| = 1$ .

Énoncé

Soit $\tau : U \to V$ un difféomorphisme et $a \in U$ . Pour $n \geqslant 2$ et $1 \leqslant j \leqslant n$ , on note $M_j(x)$ le déterminant de la matrice carrée d'ordre $n - 1$ obtenue en retirant de la matrice de $d\tau(x)$ sa ligne $j$ et sa colonne $n$ .

(i) $\det d\tau(x) \neq 0$ pour tout $x \in U$ . Si $n \geqslant 2$ , l'un au moins des nombres $M_1(a), \dots, M_n(a)$ n'est pas nul.

(ii) Soit $n \geqslant 2$ , $j$ un indice tel que $M_j(a) \neq 0$ , et $\sigma$ la bijection qui envoie $n$ sur $j$ et $1, \dots, n - 1$ sur les autres indices, rangés dans l'ordre croissant. Posons $\tau' = P_\sigma \circ \tau$ , de sorte que $\tau'_n = \tau_j$ , et $k(x) = \big(\tau'_1(x), \dots, \tau'_{n-1}(x), x_n\big).$ Il existe un ouvert $W \subset U$ contenant $a$ et un cube ouvert $C = B_\infty(k(a), r)$ tels que $k$ induise un difféomorphisme de $W$ sur $C$ . L'application $h(y) = \big(y_1, \dots, y_{n-1}, \tau'_n(k^{-1}(y))\big)$ est alors un difféomorphisme primitif de $C$ sur l'ouvert $\tau'(W)$ , et $\tau = P_{\sigma^{-1}} \circ h \circ k \quad \text{sur } W.$ Au voisinage de $a$ , $\tau$ est ainsi la composée d'une application qui ne change pas la dernière coordonnée, d'un difféomorphisme primitif qui ne change qu'elle, et d'une permutation des coordonnées.

Démonstration

(i) La règle de la chaîne (Différentielle, (iv)), appliquée à $\tau^{-1} \circ \tau = \mathrm{id}_U$ , montre que $d(\tau^{-1})(\tau(x)) \circ d\tau(x)$ est l'identité : $d\tau(x)$ est inversible, et $\det d\tau(x) \neq 0$ (Déterminant d'une matrice, (ii)). Pour $n \geqslant 2$ , développons ce déterminant en $a$ selon la dernière colonne (Comatrice) : $\det d\tau(a) = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+n}\,\partial_n\tau_j(a)\,M_j(a).$ Si tous les $M_j(a)$ étaient nuls, ce déterminant le serait.

(ii) La différentielle de $k$ . La matrice de $d\tau'(a) = P_\sigma \circ d\tau(a)$ a pour $n - 1$ premières lignes celles de la matrice de $d\tau(a)$ d'indice différent de $j$ , dans l'ordre croissant. Ce sont aussi les $n - 1$ premières lignes de la matrice de $dk(a)$ , dont la dernière ligne est $(0, \dots, 0, 1)$ . En développant le déterminant de la transposée de cette matrice selon sa dernière colonne (Comatrice, Déterminant d'une matrice, (iii)), on trouve que $\det dk(a)$ est le déterminant du bloc formé des $n - 1$ premières lignes et des $n - 1$ premières colonnes, c'est-à-dire $M_j(a)$ , qui n'est pas nul.

Inversion locale. Par le théorème d'inversion locale (Inversion locale), il existe un ouvert $W_0 \subset U$ contenant $a$ tel que $k$ induise un difféomorphisme de $W_0$ sur un ouvert $k(W_0)$ qui contient $k(a)$ . Cet ouvert contient un cube $C = B_\infty(k(a), r)$ , et $W = W_0 \cap k^{-1}(C)$ est un ouvert contenant $a$ , que $k$ envoie bijectivement sur $C$ . La restriction de $k$ à $W$ est donc un difféomorphisme de $W$ sur $C$ , dont la réciproque est la restriction à $C$ de celle de $k|_{W_0}$ .

L'application $h$ . Pour $y \in C$ et $x = k^{-1}(y) \in W$ , on a $k_l(x) = y_l$ pour $l < n$ , donc $\tau'(x) = \big(y_1, \dots, y_{n-1}, \tau'_n(x)\big) = h(y).$ Ainsi $h = \tau' \circ k^{-1}$ sur $C$ : $h$ est de classe $C^\infty$ , injective comme composée de deux injections, et d'image $\tau'(W)$ .

Cette image est ouverte. En effet $\tau'$ , composée de $\tau$ et de l'isomorphisme $P_\sigma$ , est un difféomorphisme de $U$ sur l'ouvert $P_\sigma(V)$ , et l'image de l'ouvert $W$ par $\tau'$ est son image réciproque par l'application continue $\tau'^{-1}$ . La réciproque de $h$ est $k \circ \tau'^{-1}$ , de classe $C^\infty$ sur $\tau'(W)$ . Enfin $h$ ne change que la dernière coordonnée, et, sur $W$ , $\tau = P_{\sigma^{-1}} \circ \tau' = P_{\sigma^{-1}} \circ h \circ k$ .

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Remarque

Pour les coordonnées polaires $\tau(r, t) = (r\cos t, r\sin t)$ , de $U = \,]0, +\infty[\, \times \,]{-\pi/2}, \pi/2[$ sur le demi-plan $V = \{(x, y) : x > 0\}$ , de réciproque $(x, y) \mapsto \big(\sqrt{x^2 + y^2}, \arctan(y/x)\big)$ , la matrice de $d\tau$ est $\begin{pmatrix} \cos t & -r\sin t \\ \sin t & r\cos t \end{pmatrix},$ d'où $M_1 = \sin t$ et $M_2 = \cos t$ . Comme $\cos t > 0$ sur $U$ , on peut prendre $j = 2$ et $\sigma = \mathrm{id}$ : $\begin{aligned} k(r, t) &= (r\cos t, t), \\ h(v, t) &= (v, v\tan t). \end{aligned}$

La première application garde l'angle et remplace le rayon par l'abscisse ; la seconde garde l'abscisse et calcule l'ordonnée. Leurs jacobiens, $\cos t$ et $v/\cos^2 t$ , ont pour produit, en $v = r\cos t$ , le jacobien $r$ des coordonnées polaires, comme le veut la règle de la chaîne. Ici $k$ est même un difféomorphisme de $U$ tout entier sur son image, de réciproque $(v, t) \mapsto (v/\cos t, t)$ ; le lemme ne l'affirme qu'au voisinage de chaque point.

À gauche, un rectangle de l'ouvert

U

des coordonnées

(r, t)

; au milieu, son image par

k

, qui ne déplace les points qu'horizontalement, puisque

t

est conservé ; à droite, l'image de celle-ci par

h

, qui ne les déplace que verticalement, puisque

v

est conservé : on obtient le secteur des coordonnées polaires. La cellule rouge est suivie d'un bout à l'autre.

Remarque

L'erreur la plus tentante est de croire que l'on peut toujours prendre $\sigma = \mathrm{id}$ . Pour l'échange $\tau(x, y) = (y, x)$ , on a $M_2 = \partial_1\tau_1 = 0$ , et l'application $k(x, y) = (\tau_1, y) = (y, y)$ n'est injective sur aucun ouvert. Avec $j = 1$ , puisque $M_1 = \partial_1\tau_2 = 1$ , on trouve $\tau' = \mathrm{id}$ , $k = h = \mathrm{id}$ , et $\tau = P_{\sigma^{-1}}$ est la permutation elle-même.

Remarque

Rudin appelle primitives les applications qui ne changent qu'une coordonnée, et montre qu'un difféomorphisme s'écrit localement comme composée de telles applications et d'échanges de deux coordonnées (Principles of Mathematical Analysis, 3e éd., 1976, chapitre 10). Spivak démontre la formule du changement de variables par une décomposition locale de ce genre et une récurrence sur la dimension (Calculus on Manifolds, 1965, théorème 3-13, p. 66-69) ; il normalise d'abord le difféomorphisme par sa différentielle en un point, ce qui lui demande aussi la formule pour les applications linéaires, comme le détaillent les notes de cours de R. Jerrard (université de Toronto, MAT257). C'est le plan que suit le nœud suivant, où une permutation des coordonnées remplace cette normalisation : la seule décomposition $\tau = P_{\sigma^{-1}} \circ h \circ k$ suffit, l'application $k$ étant traitée tranche par tranche.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Changement de variables pour l'intégrale de Riemann