Théorème 9Équations de Laplace et de la chaleur

Principe du maximum pour l'équation de la chaleur et unicité

Soit $a < b$ et $T > 0$ . Le bord parabolique du rectangle $\bar Q = [0, T] \times [a, b]$ est la réunion $\Gamma$ du côté $\{0\} \times [a, b]$ et des deux côtés $[0, T] \times \{a\}$ et $[0, T] \times \{b\}$ ; le côté $\{T\} \times\, ]a, b[$ n'en fait pas partie.

Énoncé

(i) Principe faible. Soit $u$ continue sur $\bar Q$ , telle que $\partial_t u$ et $\partial_x^2 u$ existent sur $]0, T] \times \,]a, b[$ , la dérivée en $t = T$ étant à gauche, et que $\partial_t u - \partial_x^2 u \leqslant 0$ . Alors $\max_{\bar Q} u = \max_\Gamma u$ .

(ii) Unicité sur un segment. Deux solutions de l'équation de la chaleur sur $]0, T] \times \,]a, b[$ , continues sur $\bar Q$ et égales sur $\Gamma$ , sont égales.

(iii) Unicité des solutions bornées. Si $u$ est continue et bornée sur $[0, +\infty[ \times {\mathbb R}$ , de classe $C^2$ sur $]0, +\infty[ \times \mathbb R$ , solution de l'équation de la chaleur et nulle en $t = 0$ , alors $u = 0$ . En particulier, la fonction du nœud Problème de Cauchy est l'unique solution bornée de donnée initiale $f$ .

Démonstration

(i) Une perturbation. Soit $\varepsilon > 0$ et $v = u - \varepsilon t$ , continue sur le compact $\bar Q$ , où elle atteint son maximum en $(t^*, x^*)$ (Compacts de ℝ, (iii)). Sur $]0, T] \times \,]a, b[$ , $\partial_t v - \partial_x^2 v \leqslant -\varepsilon < 0$ .

Le maximum est sur $\Gamma$ . Supposons $t^* > 0$ et $a < x^* < b$ . La fonction $g(x) = v(t^*, x)$ est deux fois dérivable sur $]a, b[$ et y a un maximum en $x^*$ , donc $g'(x^*) = 0$ (Extremum local). Si l'on avait $g''(x^*) > 0$ , le développement à l'ordre $1$ de $g'$ (DL à l'ordre 1) donnerait $g' > 0$ sur un intervalle $]x^*, x^* + h]$ , où $g$ serait strictement croissante (Signe de la dérivée, (iii)) : ainsi $\partial_x^2 v(t^*, x^*) \leqslant 0$ . La fonction $t \mapsto v(t, x^*)$ est maximale en $t^*$ sur $[0, t^*]$ : ses taux d'accroissement à gauche sont positifs, et $\partial_t v(t^*, x^*) \geqslant 0$ . Alors $\partial_t v - \partial_x^2 v \geqslant 0$ en ce point, ce qui est exclu. Donc $(t^*, x^*) \in \Gamma$ .

Conclusion. $\max_{\bar Q} u \leqslant \max_{\bar Q} v + \varepsilon T = \max_\Gamma v + \varepsilon T \leqslant \max_\Gamma u + \varepsilon T$ , et l'on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$ .

(ii) La différence $w$ des deux solutions et son opposée vérifient (i), et sont nulles sur $\Gamma$ : $w \leqslant 0$ et $-w \leqslant 0$ .

(iii) Comparaison. Soit $K$ tel que $|u| \leqslant K$ , $L > 0$ , $T > 0$ , et $v(t, x) = \frac K{L^2}\,(x^2 + 2t),$ qui vérifie $\partial_t v = \partial_x^2 v = \frac{2K}{L^2}$ . La fonction $w = u - v$ est solution de l'équation de la chaleur sur $]0, T] \times \,]{-L}, L[$ , et, sur le bord parabolique de $[0, T] \times [-L, L]$ : $w(0, x) = -\frac{Kx^2}{L^2} \leqslant 0$ , et $w(t, \pm L) = u(t, \pm L) - K - \frac{2Kt}{L^2} \leqslant 0$ .

Conclusion. Par (i), $w \leqslant 0$ , soit $u(t, x) \leqslant \frac K{L^2}(x^2 + 2t)$ pour $|x| \leqslant L$ et $t \leqslant T$ . À $(t, x)$ fixé, on fait tendre $L$ vers l'infini : $u(t, x) \leqslant 0$ . Le même argument appliqué à $-u$ donne $u \geqslant 0$ . La dernière affirmation s'applique à la différence de deux solutions bornées de même donnée, la solution du nœud Problème de Cauchy étant bornée par (i) de ce nœud.

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Remarque

Le maximum peut être atteint sur le côté supérieur $t = T$ , mais il y est alors déjà atteint sur $\Gamma$ : la chaleur ne crée pas de point chaud. Pour $u(t, x) = e^{-t}\sin x$ sur $[0, T] \times [0, \pi]$ , solution vérifiée par le calcul, le maximum $1$ est atteint en $(0, \frac\pi2)$ , sur le bord parabolique, et la température en $x = \frac\pi2$ décroît ensuite comme $e^{-t}$ .

Le rectangle

[0, T] \times [a, b]

, avec le temps en ordonnée. Le bord parabolique

\Gamma

, en rouge, est formé du côté inférieur, la donnée initiale, et des deux côtés verticaux, les valeurs aux extrémités de la barre. Le côté supérieur, en pointillé gris, n'en fait pas partie : le maximum de

u - \varepsilon t

ne peut s'y trouver qu'avec

\partial_t \geqslant 0

\partial_x^2 \leqslant 0

, ce que l'inégalité stricte interdit.

Remarque

La preuve de (iii) compare $u$ à la solution explicite $\frac K{L^2}(x^2 + 2t)$ , qui domine $u$ au bord du grand rectangle et devient petite en chaque point quand $L$ grandit. C'est le même principe que pour le théorème de Liouville (Liouville harmonique) : une borne globale, jointe à un principe de comparaison local, force la nullité.

Repose sur

Problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur

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