Théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques

Comparaison de deux boules. Soit $u$ harmonique avec $|u| \leqslant K$, et $x, x'$ deux points, à distance $d = |x - x'|$. Pour $R > d$, soit $D = B(x, R) \,\triangle\, B(x', R)$ la différence symétrique des deux boules ; la propriété de la moyenne (Propriété de la moyenne, (ii)) et $\lambda(B(x, R)) = \lambda(B(x', R)) = R^n\omega_n$ donnent $$\begin{aligned} &|u(x) - u(x')| \\ &\quad = \frac1{R^n\omega_n}\Big|\int_{B(x, R)} u - \int_{B(x', R)} u\Big| \\ &\quad \leqslant \frac K{R^n\omega_n}\,\lambda(D). \end{aligned}$$

La différence symétrique. Par l'inégalité triangulaire, $B(x', R) \subset B(x, R + d)$, et $B(x, R - d)$ est contenue dans $B(x, R) \cap B(x', R)$. Ainsi $D$ est contenue dans $B(x, R + d) \setminus B(x, R - d)$, de mesure $\omega_n\big((R + d)^n - (R - d)^n\big)$ (Image linéaire, (ii)). Ainsi $$\begin{aligned} &|u(x) - u(x')| \\ &\quad \leqslant K\Big(\Big(1 + \frac dR\Big)^n - \Big(1 - \frac dR\Big)^n\Big), \end{aligned}$$ qui tend vers 0 quand $R \to +\infty$, par continuité des polynômes. Donc $u(x) = u(x')$.