Théorème 1Équations de Laplace et de la chaleur

Propriété de la moyenne

Soit $\Omega$ un ouvert de ${\mathbb R^n}$ , $B = B(0, 1)$ , et $\omega_n = \lambda(B)$ . Pour $u$ intégrable sur une boule $B(x, r)$ , on note $m_{x,r}(u) = \frac1{\lambda(B(x, r))}\int_{B(x, r)} u$ sa moyenne. Une fonction continue $u$ sur $\Omega$ a la propriété de la moyenne si $u(x) = m_{x,r}(u)$ pour tous $x \in \Omega$ et $r > 0$ tels que $\bar B(x, r) \subset \Omega$ .

Énoncé

(i) $\omega_n$ est un réel strictement positif. Soit $u$ de classe $C^2$ sur $\Omega$ , $x \in \Omega$ et $R > 0$ tels que $\bar B(x, R) \subset \Omega$ . La fonction $M(r) = \frac1{\omega_n}\int_B u(x + ry)\,dy$ est de classe $C^1$ sur un intervalle ouvert contenant $[0, R]$ ; $M(0) = u(x)$ , $M(r) = m_{x,r}(u)$ pour $0 < r \leqslant R$ , et $\begin{aligned} M'(r) &= \frac r{\omega_n}\int_B \frac{1 - |y|^2}2 \\ &\qquad \times {\Delta} u(x + ry)\,dy. \end{aligned}$

(ii) Propriété de la moyenne. Toute fonction harmonique sur $\Omega$ a la propriété de la moyenne.

(iii) Sous-harmonicité. Si $\Delta u \geqslant 0$ sur $\Omega$ , alors $r \mapsto m_{x,r}(u)$ est croissante sur $]0, R]$ , et $u(x) \leqslant m_{x,r}(u)$ pour $0 < r \leqslant R$ .

Démonstration

(i) La constante. $B$ est contenue dans $[-1, 1]^n$ et contient le cube $\{\|y\|_\infty < \frac1n\}$ (Espaces métriques, (ii)), d'où $(\frac2n)^n \leqslant \omega_n \leqslant 2^n$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)).

Domaine. La boule $\bar B(x, R)$ est compacte, donc contenue dans un $\Omega_\varepsilon$ (Fonctions test, (iv)), et $R' = R + \varepsilon$ vérifie $\bar B(x, R') \subset \Omega$ . Pour $|r| < R'$ et $y \in \bar B$ , $x + ry \in \Omega$ .

Dérivation. Appliquons le nœud Intégrales à paramètre, (i), avec $W = \,]{-R'}, R'[$ , $A = B$ , $k = 1$ et $h(r, y) = u(x + ry)$ . Par la règle de la chaîne, $\partial_r h = y \cdot \nabla u(x + ry)$ et $\partial_r^2 h = \sum_{i,l} y_iy_l\,\partial_i\partial_l u(x + ry)$ . Une boule fermée $[c - \rho', c + \rho']$ de $W$ est contenue dans $[-\rho, \rho]$ , avec $\rho = |c| + \rho' < R'$ ; pour $r$ dans ce segment, les points $x + ry$ restent dans le compact $\bar B(x, \rho)$ , où les dérivées de $u$ d'ordre $\leqslant 2$ sont bornées : des constantes, intégrables sur $B$ , dominent $h$ , $\partial_r h$ et $\partial_r^2 h$ . Donc $M$ est de classe $C^1$ sur $W$ , et $M'(r) = \frac1{\omega_n}\int_B y \cdot \nabla u(x + ry)\,dy.$

Valeurs. $M(0) = u(x)$ . Pour $0 < r \leqslant R$ , le changement de variables $z = x + ry$ (Changement de variables, (iii)), de jacobien $r^n$ , et $\lambda(B(x, r)) = r^n\omega_n$ (Image linéaire, (ii)) donnent $M(r) = m_{x,r}(u)$ .

La dérivée. Pour $r \neq 0$ , la fonction $w(y) = u(x + ry)$ est de classe $C^2$ sur un ouvert contenant $\bar B$ , avec $\nabla w(y) = r\,\nabla u(x + ry)$ et $\Delta w(y) = r^2\,\Delta u(x + ry)$ . Le nœud Divergence sur la boule, (ii), donne $\begin{aligned} &r\int_B y \cdot \nabla u(x + ry)\,dy \\ &\quad = r^2\int_B \frac{1 - |y|^2}2\,\Delta u(x + ry)\,dy, \end{aligned}$ et l'on divise par $r$ . Pour $r = 0$ , $M'(0) = \frac1{\omega_n}\nabla u(x) \cdot \int_B y\,dy = 0$ (Divergence sur la boule, (iii)), et le second membre est nul.

(ii) Si $\Delta u = 0$ , $M' = 0$ sur un intervalle contenant $[0, R]$ , et $M$ y est constante (Signe de la dérivée, (ii)) : $m_{x,r}(u) = M(0) = u(x)$ pour $0 < r \leqslant R$ . Toute boule fermée $\bar B(x, r) \subset \Omega$ s'obtient ainsi, avec $R = r$ .

(iii) Si $\Delta u \geqslant 0$ , l'intégrande de $M'$ est positive pour $r \geqslant 0$ , et $M$ est croissante sur $[0, R]$ (Signe de la dérivée, (i)).

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Remarque

Pour $u(x, y) = x^2 - y^2$ et le disque de centre $(a, b)$ et de rayon $R$ , un calcul formel donne $m_{(a,b),R}(u) = a^2 - b^2$ quel que soit $R$ : la moyenne ne dépend pas du rayon. Pour $u(x, y) = x^2 + y^2$ , de laplacien $4$ , il donne $m_{(a,b),R}(u) = a^2 + b^2 + \frac{R^2}2$ , qui croît avec $R$ ; c'est l'expression exacte de (i), puisque $M'(R) = \frac R\pi\int_B \frac{1 - |y|^2}2 \cdot 4\,dy = R$ .

À gauche, en bleu, le disque de centre

(0{,}6\,;\,0{,}3)

et de rayon

1

, avec les lignes de niveau de

u = x^2 - y^2

, en gris, et le centre, en rouge : la moyenne de

u

sur le disque vaut

u(0{,}6\,;\,0{,}3) = 0{,}27

. À droite, la moyenne sur le disque de rayon

R

en fonction de

R

: constante, égale à

0{,}27

, pour

u

(rouge) ; croissante,

0{,}45 + \frac{R^2}2

, pour la fonction sous-harmonique

x^2 + y^2

(bleu).

Remarque

La propriété est attribuée à Gauss, qui a publié en 1840, dans un mémoire sur les forces attractives qui varient en raison inverse du carré de la distance (Allgemeine Lehrsätze…, Werke, t. 5), le théorème de la moyenne arithmétique pour les potentiels (N. Kuznetsov, Mean value properties of harmonic functions and related topics (a survey), arXiv:1904.08312). Gauss l'énonce sur les sphères ; la version sur les boules, seule démontrée ici, s'en déduit par intégration en rayon, et réciproquement par dérivation, ce qui demande la mesure de surface.

Remarque

La preuve n'emploie aucune solution explicite du laplacien : elle n'utilise que l'identité $\operatorname{div}\big(\frac{|y|^2 - 1}2\nabla w\big) = y \cdot \nabla w + \frac{|y|^2 - 1}2\Delta w$ . La solution élémentaire du nœud Solution élémentaire du laplacien n'est pas nécessaire ; elle donnerait en revanche une formule de représentation de $u$ par ses valeurs au bord, que le nœud Problème de Dirichlet sur le disque obtient dans le plan par une autre voie.

Repose sur

Divergence sur la boule d'un champ nul sur la sphère Fonctions harmoniques

Sert à

Régularité et caractérisation des fonctions harmoniques par la moyenne Principe du maximum et unicité pour le problème de Dirichlet Théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques