Lemme 1Équations de Laplace et de la chaleur

Divergence sur la boule d'un champ nul sur la sphère

Soit $B = B(0, 1)$ la boule unité ouverte de ${\mathbb R^n}$ et $S = \{y : |y| = 1\}$ . Pour un champ $F = (F_1, \dots, F_n)$ de classe $C^1$ sur un ouvert, la divergence est $\operatorname{div} F = \sum_i \partial_i F_i$ . Pour $w$ de classe $C^1$ , $\nabla w = (\partial_1 w, \dots, \partial_n w)$ est son gradient, et $y \cdot \nabla w(y) = \sum_i y_i\,\partial_i w(y)$ .

Énoncé

(i) Si $F$ est de classe $C^1$ sur un ouvert contenant $\bar B$ et nul sur $S$ , alors $\int_B \operatorname{div} F = 0$ .

(ii) Si $w$ est de classe $C^2$ sur un ouvert contenant $\bar B$ , $\begin{aligned} &\int_B y \cdot \nabla w(y)\,dy \\ &\quad = \int_B \frac{1 - |y|^2}2\,{\Delta} w(y)\,dy. \end{aligned}$

(iii) $\int_B y_j\,dy = 0$ pour tout $j$ .

Démonstration

(i) Réduction. Les fonctions $\partial_i F_i$ sont continues sur le compact $\bar B$ , donc bornées, et intégrables sur $B$ . Fixons $i$ , soit $\sigma$ la transposition de $i$ et $n$ , et $P_\sigma$ la permutation des coordonnées du nœud Lebesgue sur ℝⁿ, (iii). Elle conserve la norme euclidienne, donc $B$ et $S$ .

La fonction $v = F_i \circ P_\sigma$ est de classe $C^1$ , nulle sur $S$ , et $\partial_n v = (\partial_i F_i) \circ P_\sigma$ . La formule du changement de variables (Changement de variables, (iii)), pour l'application linéaire $P_\sigma$ , de déterminant $\pm1$ , donne $\int_B \partial_i F_i = \int_B \partial_n v$ .

Le cas $n = 1$ . Alors $B = \,]{-1}, 1[$ , et $\int_{-1}^1 v' = v(1) - v(-1) = 0$ par le théorème fondamental.

Le cas $n \geqslant 2$ . Le théorème de Fubini (Tonelli, Fubini, (ii)), sur $\mathbb R^{n-1} \times \mathbb R$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i) et (ii)), appliqué à $\mathbf 1_B\,\partial_n v$ , donne $\begin{aligned} &\int_B \partial_n v \\ &\ = \int_{\mathbb R^{n-1}}\Big(\int_{\mathbb R}\mathbf 1_B\,\partial_n v(y', s)\,ds\Big)\,dy'. \end{aligned}$ Si $|y'| \geqslant 1$ , la section $\{s : (y', s) \in B\}$ est vide. Si $|y'| < 1$ , c'est l'intervalle $]{-a}, a[$ , avec $a = \sqrt{1 - |y'|^2}$ , et l'intégrale intérieure, qui est celle de Riemann (Riemann et Lebesgue), vaut $\begin{aligned} \int_{-a}^a \partial_n v(y', s)\,ds &= v(y', a) - v(y', -a) \\ &= 0, \end{aligned}$ les points $(y', \pm a)$ étant sur $S$ . La somme sur $i$ donne $\int_B \operatorname{div} F = 0$ .

(ii) Le champ $F = \frac{|y|^2 - 1}2\,\nabla w$ est de classe $C^1$ et nul sur $S$ . Par la dérivée d'un produit, $\begin{aligned} \operatorname{div} F &= \sum_i y_i\,\partial_i w + \frac{|y|^2 - 1}2\sum_i \partial_i^2 w \\ &= y \cdot \nabla w + \frac{|y|^2 - 1}2\,\Delta w, \end{aligned}$ et (i) donne l'égalité annoncée.

(iii) Le champ $F = \frac{1 - |y|^2}2\,e_j$ , où $e_j$ est le $j$ -ième vecteur de base, est nul sur $S$ et de divergence $-y_j$ ; (i) conclut.

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Remarque

Le point (i) est le théorème de la divergence pour un champ nul sur le bord : le flux sortant à travers la sphère est nul, et l'intégrale de la divergence aussi. Le théorème général sur la boule ferait intervenir la mesure de surface de la sphère $S^{n-1}$ , que l'atlas ne définit pas en dimension quelconque : seule l'aire des surfaces paramétrées de $\mathbb R^3$ l'est, au nœud Aire ; le nœud Green-Riemann, divergence, (iii), le démontre pour un pavé, où les faces sont planes. Le facteur $|y|^2 - 1$ de (ii) tue le terme de bord, et c'est tout ce dont la propriété de la moyenne aura besoin.

La preuve de (i) dans le disque unité : pour chaque

y'

]{-1}, 1[

, la section verticale du disque est le segment rouge d'extrémités

(y', -a)

(y', a)

, avec

a = \sqrt{1 - y'^2}

, toutes deux sur le cercle. Le théorème fondamental ramène l'intégrale de

\partial_n v

sur ce segment à la différence des valeurs de

v

aux deux extrémités, nulles par hypothèse.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Propriété de la moyenne