Proposition 1Surfaces

Aire d'une surface paramétrée ⋆

⋆ Axiome du choix

La mesure de Lebesgue de ${\mathbb R^2}$ repose sur le choix dénombrable (Mesure de Lebesgue). L'aire définie ici, et tout ce qui l'emploie dans ce chapitre, en hérite ; ce signe est indiqué ici une fois. Le point (ii) montre que l'aire d'un rectangle de paramètres est une intégrale de Riemann itérée d'une fonction continue, nombre que l'on définit sans aucun choix.

Soit $x : U \to {\mathbb R^3}$ une surface paramétrée régulière et $D \subset U$ un borélien. L'aire de $x$ sur $D$ est $\begin{aligned} \mathcal A_x(D) &= \int_D \|x_u \wedge x_v\|\,d\lambda \\ &= \int_D \sqrt{EG - F^2}\,d\lambda, \end{aligned}$ où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue de $\mathbb R^2$ (Lebesgue sur ℝⁿ). Plus généralement, pour $f : U \to [0, +\infty]$ borélienne, on note $\int_D f\,dA = \int_D f\,\sqrt{EG - F^2}\,d\lambda$ , et de même pour $f$ intégrable.

Énoncé

(i) Invariance. Si $\varphi : \tilde U \to U$ est un changement de paramètres et $\tilde x = x \circ \varphi$ , alors $\mathcal A_{\tilde x}\big(\varphi^{-1}(D)\big) = \mathcal A_x(D)$ , et de même $\int_{\varphi^{-1}(D)} f \circ \varphi\,d\tilde A = \int_D f\,dA$ .

(ii) Rectangles. Si $D = [a, b] \times [c, d] \subset U$ , $\mathcal A_x(D) = \int_a^b\!\Big(\int_c^d \|x_u \wedge x_v\|\,dv\Big)du.$

(iii) Exemples. Le paramétrage de la sphère de rayon $R$ par la latitude et la longitude, sur $]{-\frac\pi2}, \frac\pi2[ \times \,]{-\pi}, \pi[$ , est injectif, d'image la sphère privée d'un demi-méridien fermé, et d'aire $4\pi R^2$ . Le tore $x(u, v) = \big((R + r\cos u)\cos v, (R + r\cos u)\sin v, r\sin u\big)$ , $0 < r < R$ , sur $]{-\pi}, \pi[^2$ , a pour aire $4\pi^2Rr$ .

Démonstration

(i) Par le nœud Surfaces paramétrées, (i), $\|\tilde x_{\tilde u} \wedge \tilde x_{\tilde v}\| = |\det d\varphi|\;\|x_u \wedge x_v\| \circ \varphi$ . L'ensemble $\varphi^{-1}(D)$ est borélien, puisque $\varphi$ est continue (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)). La formule du changement de variables (Changement de variables, (ii)), appliquée à la fonction borélienne positive $g = \mathbf 1_D\,f\,\|x_u \wedge x_v\|$ sur $U$ , donne $\int_U g\,d\lambda = \int_{\tilde U} (g \circ \varphi)\,|\det d\varphi|\,d\lambda,$ et $(g \circ \varphi)\,|\det d\varphi| = \mathbf 1_{\varphi^{-1}(D)}\,(f \circ \varphi)\,\|\tilde x_{\tilde u} \wedge \tilde x_{\tilde v}\|$ . Le cas intégrable s'en déduit par les parties positive et négative.

(ii) La fonction $\|x_u \wedge x_v\|$ est continue, donc bornée sur le compact $D$ et intégrable sur $D$ . Le théorème de Fubini (Tonelli, Fubini), pour $\lambda_2 = \lambda_1 \otimes \lambda_1$ , puis l'égalité des intégrales de Lebesgue et de Riemann pour les fonctions continues sur un segment (Riemann et Lebesgue) donnent l'intégrale itérée.

(iii) Sphère. L'injectivité vient de l'écriture unique d'un complexe non nul $z = |z|\exp(iv)$ avec $v \in \,]{-\pi}, \pi]$ (Le nombre π, (iii)), appliquée à $(x_1 + ix_2)/(R\cos u)$ , et de la bijectivité de $\sin$ de $]{-\frac\pi2}, \frac\pi2[$ sur $]{-1}, 1[$ , qui se déduit du nœud Première forme, (v), par $\sin u = \cos(\frac\pi2 - u)$ . Les points exclus sont les pôles et ceux de longitude $\pi$ .

Ici $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos u$ (Première forme, remarques), et les bords du rectangle, contenus dans des droites, sont négligeables (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)). Par (ii) appliqué aux rectangles $[{-\frac\pi2} + \frac1k, \frac\pi2 - \frac1k] \times [{-\pi} + \frac1k, \pi - \frac1k]$ et par convergence monotone (Beppo Levi), $\mathcal A = \int_{-\pi}^{\pi}\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} R^2\cos u\,du\,dv = 2\pi R^2 \cdot 2.$

Tore. $x_u \wedge x_v = -r(R + r\cos u)\,(\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u)$ , de norme $r(R + r\cos u)$ , et le même passage à la limite donne $\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} r(R + r\cos u)\,du\,dv = 4\pi^2Rr$ .

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Remarque

L'aire est celle d'un morceau paramétré, comptée avec multiplicité si $x$ n'est pas injectif. Pour le paramétrage $(\cos u, \sin u, v)$ du cylindre, l'aire de $x$ sur $\mathbb R \times [0, 1]$ est infinie, alors que la bande du cylindre qu'il recouvre, une infinité de fois, a pour aire $2\pi$ . Pour l'aire d'une surface entière, couverte par plusieurs paramétrages, il faudrait découper la surface en morceaux disjoints et additionner ; ce n'est pas fait ici.

Remarque

La formule $\sqrt{EG - F^2}$ se lit sur un petit rectangle de paramètres $[u, u + h] \times [v, v + k]$ : son image est presque le parallélogramme construit sur $h\,x_u$ et $k\,x_v$ , dont l'aire est $hk\,\|x_u \wedge x_v\|$ . Le demi-méridien exclu au point (iii) est l'image d'un côté du rectangle de paramètres, ensemble négligeable : c'est pourquoi l'on attribue d'habitude à la sphère entière l'aire $4\pi R^2$ , bien que, comme le dit la remarque précédente, l'aire d'une surface entière ne soit pas définie ici.

Repose sur

Première forme fondamentale, longueurs et angles Changement de variables et conservation du volume

Sert à

Formule de Gauss-Bonnet pour un triangle géodésique