Formule de Gauss-Bonnet pour un triangle géodésique

(i) Les angles. Soit $\psi$ une fonction du nœud Courbure géodésique, (ii) : $c' = \cos\psi\,X_r + \sin\psi\,e_\theta$, avec $\sin\psi = \sqrt G\,\theta' > 0$. Soit $\psi_0 \in \,]0, \pi[$ tel que $\cos\psi_0 = \cos\psi(0)$ (Première forme, (v)) ; les sinus de $\psi_0$ et de $\psi(0)$ sont positifs et de même carré, donc égaux, et $\psi(0) - \psi_0 \in 2\pi{\mathbb Z}$ (Le nombre π, (ii)). Quitte à retrancher cette constante à $\psi$, $\psi(0) = \psi_0$. Alors $\psi(s) \in \,]0, \pi[$ pour tout $s$, sans quoi, par les valeurs intermédiaires, $\psi$ passerait par $0$ ou par $\pi$, où le sinus s'annule.

En $q_1$, $\cos\beta_1 = \langle -X_r, c'(0) \rangle = -\cos\psi(0) = \cos(\pi - \psi(0))$, et $\pi - \psi(0) \in \,]0, \pi[$ : par l'injectivité de $\cos$ sur $[0, \pi]$, $\beta_1 = \pi - \psi(0)$. En $q_2$, $\cos\beta_2 = \langle -X_r, -c'(\ell) \rangle = \cos\psi(\ell)$, d'où $\beta_2 = \psi(\ell)$. En $p$, $\cos$ de l'angle vaut $\langle e_1, \cos\alpha\,e_1 + \sin\alpha\,e_2 \rangle = \cos\alpha$, et $\alpha \in \,]0, \pi[$.

La rotation le long du côté géodésique. Comme $c$ est une géodésique, $\psi' = -(\sqrt G)_r\,\theta'$ (même nœud), et le changement de variable $\vartheta = \theta(s)$ (Courbes et longueur, (i)), avec $r(s) = \varrho(\theta(s))$, donne $$\begin{aligned} &\beta_1 + \beta_2 - \pi = \psi(\ell) - \psi(0) \\ &\ = -\int_0^\ell (\sqrt G)_r\big(r(s), \theta(s)\big)\,\theta'(s)\,ds \\ &\ = -\int_0^\alpha (\sqrt G)_r\big(\varrho(\vartheta), \vartheta\big)\,d\vartheta. \end{aligned}$$

L'intégrale de la courbure. Par le nœud Coordonnées polaires géodésiques, (iii) et (iv), $K\sqrt G = -(\sqrt G)_{rr}$ sur $[0, \varepsilon[ \times \mathbb R$, fonction continue, et $(\sqrt G)_r(0, \theta) = 1$. Le théorème fondamental de l'analyse donne, pour chaque $\theta$, $$\int_0^{\varrho(\theta)} K\sqrt G\,dr = 1 - (\sqrt G)_r\big(\varrho(\theta), \theta\big),$$ fonction continue de $\theta$, puisque $\varrho = r \circ \theta^{-1}$ l'est : $\theta$ est continue et strictement croissante, de dérivée non nulle, et sa réciproque est dérivable (Dérivée d'une réciproque, (i)). En intégrant sur $[0, \alpha]$, on obtient $\alpha + \beta_1 + \beta_2 - \pi$.

(ii) Le point (i) ne fait intervenir que des intégrales de Riemann de fonctions continues ; ce point-ci, qui passe par l'aire, dépend de la mesure de Lebesgue, avec le choix signalé au nœud Aire.

Sur $\Delta = \{(r, \theta) : 0 < \theta < \alpha,\ 0 < r < \varrho(\theta)\}$, ouvert puisque $\varrho$ est continue, l'application $\Pi(r, \theta) = \operatorname{Exp}_m(r\,\omega(\theta))$ est injective, car $\operatorname{Exp}_m$ l'est et $(r, \theta) \mapsto r\,\omega(\theta)$ l'est pour $r > 0$ et $0 < \theta < \alpha < 2\pi$ (Le nombre π, (iii)) ; sa différentielle est inversible (démonstration du nœud Coordonnées polaires géodésiques, (iv)). C'est donc un changement de paramètres de $\Delta$ sur $D = \Pi(\Delta)$, ouvert, la réciproque étant de classe $C^\infty$ par l'inversion locale.

Le nœud Aire, (i), donne $\int_D K_x\,dA = \int_\Delta K\,\|X_r \wedge X_\theta\|\,d\lambda = \int_\Delta K\sqrt G\,d\lambda$, la fonction étant continue et bornée sur $\Delta$, d'adhérence compacte. Le théorème de Fubini (Tonelli, Fubini) et l'égalité des intégrales de Lebesgue et de Riemann (Riemann et Lebesgue) ramènent cette intégrale à l'intégrale itérée de (i).

(iii) L'intégrale itérée d'une fonction continue strictement positive est strictement positive (Inégalité de la moyenne, (iii)), et de même pour le signe négatif. Sur la sphère unité, $K = 1$, et le second membre de (i) est l'aire du triangle, par (ii).