Définition 1Courbes

Courbes paramétrées, reparamétrages et longueur

On munit ${\mathbb R^n}$ du produit scalaire usuel $\langle x, y \rangle = \sum_i x_iy_i$ et de la norme associée $\|x\| = \|x\|_2$ (Normes, Produit scalaire).

Soit $k \geqslant 1$ , éventuellement infini. Une courbe paramétrée de classe $C^k$ est une application $\gamma : I \to \mathbb R^n$ de classe C^k sur un intervalle ouvert non vide $I$ de ${\mathbb R}$ ; ses dérivées se calculent coordonnée par coordonnée. Elle est régulière si $\gamma'(t) \neq 0$ pour tout $t \in I$ .

Un reparamétrage de classe $C^k$ est une bijection $\varphi : J \to I$ de classe $C^k$ entre intervalles ouverts dont la dérivée ne s'annule pas ; la courbe $\gamma \circ \varphi$ est alors une autre paramétrisation du même arc.

Pour $a < b$ dans $I$ , la longueur de $\gamma$ entre $a$ et $b$ est $L_a^b(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt,$ intégrale de Riemann d'une fonction continue (Intégrabilité des fonctions continues, (ii)).

Énoncé

(i) Changement de variable. Soit $f$ continue sur $I$ et $\varphi : [c, d] \to I$ dérivable, de dérivée continue. Alors $\int_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} f(t)\,dt = \int_c^d f\big(\varphi(u)\big)\,\varphi'(u)\,du.$

(ii) Invariance. Si $\varphi : J \to I$ est un reparamétrage de classe $C^1$ , $c < d$ dans $J$ , et si $a < b$ sont les extrémités de $\varphi([c, d])$ , alors $L_c^d(\gamma \circ \varphi) = L_a^b(\gamma)$ .

(iii) Inégalité de la corde. $L_a^b(\gamma) \geqslant \|\gamma(b) - \gamma(a)\|$ . Si $\gamma$ est régulière, l'égalité a lieu si et seulement s'il existe un vecteur unitaire $u$ tel que $\gamma'(t) = \|\gamma'(t)\|\,u$ pour tout $t \in [a, b]$ : la courbe parcourt alors le segment $[\gamma(a), \gamma(b)]$ sans jamais revenir en arrière.

Démonstration

(i) La fonction $F(x) = \int_{\varphi(c)}^x f$ est une primitive de $f$ sur $I$ (Théorème fondamental de l'analyse). Par la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée), $F \circ \varphi$ a pour dérivée la fonction continue $g = (f \circ \varphi)\,\varphi'$ .

La fonction $G(u) = \int_c^u g$ a aussi pour dérivée $g$ , si bien que $F \circ \varphi - G$ est de dérivée nulle, donc constante (Signe de la dérivée et monotonie, (ii)). Elle est nulle en $c$ , et en $d$ on obtient $F(\varphi(d)) = G(d)$ , qui est l'égalité annoncée.

(ii) La fonction $\varphi'$ est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle $J$ : elle y garde un signe constant (Valeurs intermédiaires). Par la dérivée d'une composée, coordonnée par coordonnée, $\|(\gamma \circ \varphi)'(u)\| = \|\gamma'(\varphi(u))\|\,|\varphi'(u)|.$

Si $\varphi' > 0$ , $\varphi$ est croissante, $\varphi(c) = a$ , $\varphi(d) = b$ , et (i), appliqué à $f = \|\gamma'\|$ , donne l'égalité. Si $\varphi' < 0$ , $\varphi(c) = b$ et $\varphi(d) = a$ , et (i) donne $\begin{aligned} &\int_c^d \|\gamma'(\varphi(u))\|\,\big(-\varphi'(u)\big)\,du \\ &\quad = -\int_b^a \|\gamma'\| = \int_a^b \|\gamma'\|. \end{aligned}$

(iii) Si $\gamma(b) = \gamma(a)$ , il n'y a rien à démontrer pour l'inégalité. Sinon, soit $u = \frac{\gamma(b) - \gamma(a)}{\|\gamma(b) - \gamma(a)\|}$ . La fonction $t \mapsto \langle \gamma(t), u \rangle$ a pour dérivée $\langle \gamma'(t), u \rangle$ , d'où, par le théorème fondamental et l'inégalité de Cauchy-Schwarz (Espaces de Hilbert, (i)), $\begin{aligned} \|\gamma(b) - \gamma(a)\| &= \int_a^b \langle \gamma'(t), u \rangle\,dt \\ &\leqslant \int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt. \end{aligned}$

Cas d'égalité. Si $\gamma' = \|\gamma'\|\,u$ sur $[a, b]$ , alors $\gamma(b) - \gamma(a) = L_a^b(\gamma)\,u$ , et l'égalité a lieu. Réciproquement, supposons l'égalité et $\gamma$ régulière. Alors $L_a^b(\gamma) > 0$ , donc $\gamma(b) \neq \gamma(a)$ , et la fonction continue et positive $\|\gamma'\| - \langle \gamma', u \rangle$ est d'intégrale nulle sur $[a, b]$ : elle est nulle (Inégalité de la moyenne, (iii)). On en déduit $\begin{aligned} \big\|\gamma' - \|\gamma'\|\,u\big\|^2 &= 2\|\gamma'\|^2 - 2\|\gamma'\|\,\langle \gamma', u \rangle \\ &= 0. \end{aligned}$

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Remarque

La régularité est ce qui interdit les pointes. La courbe $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ est de classe $C^\infty$ , mais sa vitesse s'annule en $t = 0$ , et son image, la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$ , y présente un point de rebroussement. L'erreur la plus répandue est de croire qu'une paramétrisation lisse a une image lisse : c'est faux tant qu'on ne demande pas $\gamma' \neq 0$ .

Remarque

L'inégalité de la corde dit que, dans $\mathbb R^n$ , le segment est le plus court chemin entre deux points. Sur une surface, le rôle des segments est tenu par les géodésiques, dont le chapitre Surfaces montrera qu'elles ne minimisent la longueur que localement.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Abscisse curviligne et paramétrage par la longueur