ChapitreÉquations différentielles

Géométrie des surfaces de ℝ³

Une surface de ${\mathbb R^3}$ est étudiée dans un paramétrage régulier. La première forme fondamentale mesure les longueurs, les angles et les aires ; l'application de Gauss et la seconde forme fondamentale mesurent la façon dont la surface se courbe dans l'espace, par les courbures principales, la courbure de Gauss et la courbure moyenne. Le tore et la caténoïde en sont calculés.

Le Theorema egregium de Gauss établit que la courbure de Gauss ne dépend que de la première forme, par la formule de Brioschi : le plan et le cylindre sont localement isométriques, la sphère et le plan ne le sont pas. Les géodésiques sont les solutions d'une équation différentielle du second ordre ; le théorème de Cauchy-Lipschitz et la régularité du flot en font une application exponentielle lisse, d'où les coordonnées polaires géodésiques, le lemme de Gauss et la minimisation locale de la longueur. La formule de Gauss-Bonnet en découle, pour un triangle géodésique contenu dans des coordonnées polaires géodésiques centrées en l'un de ses sommets : l'excès de la somme des angles sur $\pi$ est l'intégrale de la courbure. Les métriques riemanniennes ouvrent sur la géométrie des variétés abstraites.

La mesure de Lebesgue n'intervient que par l'aire, et y apporte son choix dénombrable ; la formule de Gauss-Bonnet est d'abord établie par des intégrales de Riemann, sans choix. Le théorème de Gauss-Bonnet global, qui demande une triangulation, est seulement énoncé.