Proposition 3Surfaces

Le tore et la caténoïde

On note $\cosh t = \frac12(e^t + e^{-t})$ et $\sinh t = \frac12(e^t - e^{-t})$ , de dérivées $\sinh$ et $\cosh$ , avec $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ et $\cosh \geqslant 1$ . Une surface est dite minimale si sa courbure moyenne est identiquement nulle.

Énoncé

(i) Tore. Pour $0 < r < R$ , $x(u, v) = \big((R + r\cos u)\cos v, (R + r\cos u)\sin v, r\sin u\big)$ sur ${\mathbb R^2}$ a pour coefficients $E = r^2$ , $F = 0$ , $G = (R + r\cos u)^2$ , pour normale $N = -(\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u)$ , qui pointe vers l'âme du tore, et pour seconde forme $e = r$ , $f = 0$ et $g = (R + r\cos u)\cos u.$ Ses courbures principales sont $\frac1r$ , le long des méridiens, et $\frac{\cos u}{R + r\cos u}$ , le long des parallèles, d'où $K = \frac{\cos u}{r(R + r\cos u)}.$ $K$ est strictement positive sur la partie extérieure ( $\cos u > 0$ ), strictement négative sur la partie intérieure, nulle sur les deux cercles $u = \pm\frac\pi2$ , et $K\sqrt{EG - F^2} = \cos u$ .

(ii) Caténoïde. Pour $c > 0$ , $x(u, v) = \big(c\cosh\frac uc\cos v, c\cosh\frac uc\sin v, u\big)$ a pour coefficients $F = 0$ et $E = \cosh^2\tfrac uc, \qquad G = c^2\cosh^2\tfrac uc,$ et $e = -\frac1c$ , $f = 0$ , $g = c$ . Ses courbures principales sont $\pm\frac{1}{c\cosh^2(u/c)}$ : la caténoïde est minimale, et $K = -\frac{1}{c^2\cosh^4(u/c)}.$

Démonstration

(i) Un calcul direct donne $\begin{aligned} x_u &= r(-\sin u\cos v, -\sin u\sin v, \cos u), \\ x_v &= (R + r\cos u)(-\sin v, \cos v, 0), \end{aligned}$ d'où $E$ , $F$ , $G$ , puis $x_u \wedge x_v = -r(R + r\cos u)(\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u)$ , de norme $r(R + r\cos u)$ , puisque $R + r\cos u > 0$ . Avec $\begin{aligned} x_{uu} &= -r(\cos u\cos v, \cos u\sin v, \sin u), \\ x_{uv} &= r\sin u\,(\sin v, -\cos v, 0), \\ x_{vv} &= -(R + r\cos u)(\cos v, \sin v, 0), \end{aligned}$ on obtient $e$ , $f$ , $g$ . Comme $F = f = 0$ , la matrice de $W$ est diagonale (Application de Gauss, (ii)), de coefficients $\frac eE$ et $\frac gG$ , qui sont les courbures principales, et $K$ est leur produit (Courbures).

Les signes viennent de celui de $\cos u$ , et $K\sqrt{EG - F^2} = \frac{\cos u}{r(R + r\cos u)}\cdot r(R + r\cos u) = \cos u$ .

(ii) Notons $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$ les valeurs de $\cosh$ et $\sinh$ en $\frac uc$ . Alors $\begin{aligned} x_u &= (\mathrm{sh}\cos v, \mathrm{sh}\sin v, 1), \\ x_v &= c\,\mathrm{ch}\,(-\sin v, \cos v, 0), \end{aligned}$ d'où $E = \mathrm{sh}^2 + 1 = \mathrm{ch}^2$ , $F = 0$ et $G = c^2\mathrm{ch}^2$ . Puis $x_u \wedge x_v = c\,\mathrm{ch}\,(-\cos v, -\sin v, \mathrm{sh})$ , de norme $c\,\mathrm{ch}^2$ , et $N = \frac{1}{\mathrm{ch}}(-\cos v, -\sin v, \mathrm{sh})$ . Avec $\begin{aligned} x_{uu} &= \tfrac1c\,\mathrm{ch}\,(\cos v, \sin v, 0), \\ x_{uv} &= \mathrm{sh}\,(-\sin v, \cos v, 0), \\ x_{vv} &= -c\,\mathrm{ch}\,(\cos v, \sin v, 0), \end{aligned}$ on trouve $e = -\frac1c$ , $f = 0$ et $g = c$ . Les courbures principales sont $\frac eE = -\frac{1}{c\,\mathrm{ch}^2}$ et $\frac gG = \frac{1}{c\,\mathrm{ch}^2}$ ; leur somme est nulle et leur produit est $K$ .

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Remarque

Sur le carré $]{-\pi}, \pi[^2$ , qui paramètre le tore privé de deux cercles, l'intégrale de la courbure pour l'aire (Aire) vaut $\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos u\,du\,dv = 0$ , puisque $\sin\pi = \sin(-\pi) = 0$ . Ce n'est pas un hasard de calcul : la partie extérieure, de courbure positive, compense exactement la partie intérieure. Le théorème de Gauss-Bonnet global, que le nœud Gauss-Bonnet énoncera en remarque, affirme que l'intégrale de $K$ sur une surface compacte ne dépend que de sa topologie : elle vaut $4\pi$ pour toute surface difféomorphe à une sphère, $0$ pour tout tore.

Remarque

Meusnier a rencontré la caténoïde, avec l'hélicoïde, comme solution de l'équation des surfaces minimales de Lagrange, dans le mémoire cité au nœud Application de Gauss. Le nom vient de ce que la caténoïde est engendrée par la rotation d'une chaînette, $r = c\cosh\frac zc$ . Une surface minimale a en chaque point des courbures principales opposées, donc $K \leqslant 0$ : c'est la forme que prend un film de savon tendu entre deux cercles coaxiaux assez proches.

Repose sur

Courbures principales, courbure de Gauss et courbure moyenne

Sert à

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