Courbures principales, courbure de Gauss et courbure moyenne

(i) Le plan $P(u, v)$, muni du produit scalaire de $\mathbb R^3$, est un espace euclidien de dimension $2$ ; le théorème spectral (Théorème spectral, (ii)) fournit la base orthonormée de vecteurs propres, et $I\!I(w) = \langle W w, w \rangle = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta$. Cette quantité est comprise entre $k_2$ et $k_1$, et vaut $k_1$ pour $\theta = 0$, $k_2$ pour $\theta = \frac\pi2$.

(ii) Le déterminant et la trace d'un endomorphisme se lisent sur sa matrice dans n'importe quelle base (Déterminant d'une matrice, (i), Trace). Dans la base $(x_u, x_v)$, cette matrice est $M = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix}$ (Application de Gauss, (ii)), d'où $\det M = \frac{eg - f^2}{EG - F^2}$ par multiplicativité. Avec l'inverse $\frac{1}{EG - F^2}\begin{pmatrix} G & -F \\ -F & E \end{pmatrix}$ (Comatrice), la trace de $M$ est $\frac{Ge - Ff - Ff + Eg}{EG - F^2}$.

(iii) Par le nœud Application de Gauss, (iii), l'endomorphisme de $\tilde x$ est $\epsilon W$, et $\det(\epsilon W) = \epsilon^2\det W$ en dimension $2$, $\operatorname{tr}(\epsilon W) = \epsilon\operatorname{tr} W$.

(iv) La fonction $\psi(h, k) = \langle x(u_0 + h, v_0 + k) - p, N_0 \rangle$ est de classe $C^\infty$, nulle en $0$, de différentielle nulle en $0$ puisque $x_u$ et $x_v$ sont orthogonaux à $N_0$, et de matrice hessienne $\begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix}$ en $0$. La formule de Taylor-Young (Taylor-Young, (ii)) donne le développement.

Si $K > 0$, alors $eg - f^2 > 0$ et la forme $q(h, k) = eh^2 + 2fhk + gk^2$ est définie positive ou définie négative (Critère des mineurs) ; quitte à changer $N_0$ en $-N_0$, elle est définie positive, et il existe $c_0 > 0$ tel que $q(h, k) \geqslant c_0\max(|h|, |k|)^2$ (Formes positives, (iv)) ; comme $h^2 + k^2 \leqslant 2\max(|h|, |k|)^2$, on a $q(h, k) \geqslant m(h^2 + k^2)$ avec $m = \frac{c_0}2$. Pour $(h, k)$ assez petit et non nul, le reste est inférieur à $\frac m4(h^2 + k^2)$, et $\psi(h, k) > 0$. Comme $x$ est injectif près de $(u_0, v_0)$ (Surfaces paramétrées, (ii)), seul $(0, 0)$ donne le point $p$.

Si $K < 0$, la forme $q$, de déterminant strictement négatif, prend des valeurs strictement positives et strictement négatives : il existe $w_+$ et $w_-$ avec $q(w_+) > 0 > q(w_-)$. Pour $t$ réel non nul assez petit, $\psi(tw_\pm) = t^2\big(\frac12 q(w_\pm) + o(1)\big)$ a le signe de $q(w_\pm)$.