Application de Gauss, seconde forme fondamentale et théorème de Meusnier

(i) En dérivant $\langle N, N \rangle = 1$, on obtient $\langle N_u, N \rangle = \langle N_v, N \rangle = 0$. Or $N$ est orthogonal à $x_u$ et à $x_v$ (Repère de Frenet, (i)), donc l'orthogonal de $N$, de dimension $2$, contient $P(u, v)$, de dimension $2$ : il lui est égal (Dimension).

(ii) Dérivons $\langle x_u, N \rangle = 0$ par rapport à $u$ : $\langle x_{uu}, N \rangle + \langle x_u, N_u \rangle = 0$, soit $\langle W x_u, x_u \rangle = -\langle N_u, x_u \rangle = e$. Les dérivées de $\langle x_u, N \rangle = 0$ par rapport à $v$ et de $\langle x_v, N \rangle = 0$ par rapport à $u$ et à $v$ donnent de même $$\begin{aligned} \langle W x_v, x_u \rangle &= \langle x_{uv}, N \rangle, \\ \langle W x_u, x_v \rangle &= \langle x_{vu}, N \rangle, \\ \langle W x_v, x_v \rangle &= g, \end{aligned}$$ et $x_{uv} = x_{vu}$ par le théorème de Schwarz (Schwarz, (i)). Par bilinéarité, $\langle W(w), w' \rangle = \langle w, W(w') \rangle$ pour tous $w, w'$ de $P(u, v)$, et $\langle W(w), w \rangle = I\!I(w)$.

Écrivons $W x_u = \alpha\,x_u + \gamma\,x_v$. Les produits scalaires avec $x_u$ et $x_v$, où interviennent les coefficients $E$, $F$, $G$ de la première forme fondamentale (Première forme), donnent $E\alpha + F\gamma = e$ et $F\alpha + G\gamma = f$ ; de même pour $W x_v$. Ainsi le produit de la matrice $\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$, inversible, par celle de $W$ est $\begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix}$.

(iii) Par le nœud Surfaces paramétrées, (i), $\tilde N = \epsilon\,N \circ \varphi$. La fonction $\det d\varphi$ est continue et ne s'annule pas : son signe est localement constant. Au voisinage d'un point, la règle de la chaîne donne $d\tilde N = \epsilon\,dN(\varphi) \circ d\varphi$, et, comme $d\tilde x = dx(\varphi) \circ d\varphi$, $$-d\tilde N = \epsilon\,W \circ dx(\varphi) \circ d\varphi = \epsilon\,W \circ d\tilde x.$$

(iv) Le vecteur $c' = u'x_u + v'x_v$ appartient à $P(\beta)$, donc $\langle c', N \circ \beta \rangle = 0$. En dérivant, $$\begin{aligned} \langle c'', N \circ \beta \rangle &= -\langle c', (N \circ \beta)' \rangle \\ &= -\langle c', u'N_u + v'N_v \rangle, \end{aligned}$$ et $-(u'N_u + v'N_v) = W(c')$. Donc $\langle c'', N \rangle = \langle c', W(c') \rangle = I\!I(c')$. Si $c''$ ne s'annule pas, $c'' = \kappa\,n_c$ par définition ; quand $\beta$ est de classe $C^3$, ce sont la courbure et la normale principale du nœud Repère de Frenet.