Abscisse curviligne et paramétrage par la longueur

(i) La fonction $\|\gamma'\|^2 = \sum_i (\gamma_i')^2$ est de classe $C^{k-1}$ et strictement positive, et la racine carrée est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ (Dérivée d'une réciproque, par récurrence) : $\|\gamma'\|$ est de classe $C^{k-1}$ (Classe Cᵏ, (iii)). Par le théorème fondamental (Théorème fondamental), $s$ est dérivable de dérivée $\|\gamma'\|$, donc de classe $C^k$.

Comme $s' > 0$, $s$ est strictement croissante (Monotonie, (iii)) et continue ; son image $J$ est un intervalle (Valeurs intermédiaires), ouvert puisque $s$ est strictement croissante sur l'intervalle ouvert $I$. En tout point, $s'(t) \neq 0$ : le théorème d'inversion locale (Inversion locale), en dimension $1$, donne un intervalle ouvert autour de $t$ sur lequel $s$ induit un $C^k$-difféomorphisme. La réciproque globale $s^{-1}$ coïncide au voisinage de chaque point de $J$ avec ces réciproques locales : elle est de classe $C^k$.

(ii) $\delta$ est de classe $C^k$ comme composée (Classe Cᵏ, (iii)). Pour $\sigma = s(t)$, la dérivée d'une composée et celle d'une réciproque donnent $$\delta'(\sigma) = \gamma'(t)\,(s^{-1})'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}.$$ La longueur de $\delta$ entre $\sigma_1$ et $\sigma_2$ est donc $\int_{\sigma_1}^{\sigma_2} 1 = \sigma_2 - \sigma_1$.

(iii) La fonction $g = s \circ \varphi$ est dérivable, de dérivée $s'(\varphi(\sigma))\,\varphi'(\sigma) = \|\gamma'(\varphi(\sigma))\|\,\varphi'(\sigma)$, dont la valeur absolue est $\|(\gamma \circ \varphi)'(\sigma)\| = 1$. Continue sur l'intervalle $J'$ et à valeurs dans $\{-1, 1\}$, $g'$ est constante (Valeurs intermédiaires), égale à $\epsilon$ ; alors $g - \epsilon\,\mathrm{id}$ est de dérivée nulle, donc constante.

(iv) $\gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ a pour norme $R$, puisque $\cos^2 + \sin^2 = 1$ (Exponentielle, (iii) et (iv)). Donc $s(t) = Rt$, $s^{-1}(\sigma) = \sigma/R$, et la longueur entre $0$ et $2\pi$ est $s(2\pi) = 2\pi R$.