Définition 2Courbes

Courbure d'une courbe plane et repère de Frenet du plan

On se place dans ${\mathbb R^2}$ et l'on note $j(x, y) = (-y, x)$ la rotation d'un quart de tour, qui conserve la norme et vérifie $\det(w, j(w)) = \|w\|^2$ .

Soit $\delta : I \to \mathbb R^2$ une courbe de classe $C^2$ paramétrée par la longueur (Abscisse curviligne). Son repère de Frenet en $\sigma$ est le couple orthonormé $(T, N)$ , avec $T = \delta'$ et $N = j(T)$ .

Comme $\langle T, T \rangle = 1$ , la dérivée donne $\langle T', T \rangle = 0$ : $T'$ est colinéaire à $N$ . La courbure (algébrique) de $\delta$ est la fonction continue $\kappa$ telle que $T' = \kappa N$ , soit $\kappa = \langle T', N \rangle = \det(\delta', \delta'').$

Pour une courbe régulière $\gamma$ de classe $C^2$ , paramétrée de façon quelconque, la courbure en $t$ est celle de $\delta = \gamma \circ s^{-1}$ au point $s(t)$ , où $s$ est une abscisse curviligne.

Énoncé

(i) Formules de Frenet du plan. $T' = \kappa N$ et $N' = -\kappa T$ .

(ii) Relèvement. Soit $w : I \to \mathbb R^2$ de classe $C^1$ telle que $\|w(t)\| = 1$ pour tout $t$ , $t_0 \in I$ et $\theta_0$ réel tel que $w(t_0) = (\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ . Il existe une unique fonction $\theta : I \to \mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\theta(t_0) = \theta_0$ et $w = (\cos\theta, \sin\theta)$ ; elle vérifie $\theta' = \det(w, w')$ .

En particulier, si $T = (\cos\theta, \sin\theta)$ avec $\theta$ de classe $C^1$ , alors $\theta' = \kappa$ : la courbure est la vitesse de rotation de la tangente.

(iii) Paramétrage quelconque. Si $\gamma$ est régulière de classe $C^2$ , sa courbure en $t$ est $\kappa(t) = \frac{\det\big(\gamma'(t), \gamma''(t)\big)}{\|\gamma'(t)\|^3}.$

(iv) Une droite a une courbure nulle. Le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct, $t \mapsto (R\cos t, R\sin t)$ , a la courbure constante $\frac1R$ ; parcouru dans l'autre sens, $-\frac1R$ .

Démonstration

(i) $T' = \kappa N$ par définition. Comme $j$ est linéaire, $N' = j(T') = \kappa\, j(N) = \kappa\, j(j(T)) = -\kappa T$ .

(ii) Existence. Posons $\theta(t) = \theta_0 + \int_{t_0}^t \det(w, w')$ ; c'est une fonction de classe $C^1$ de dérivée $\det(w, w') = w_1w_2' - w_2w_1'$ (Théorème fondamental). On identifie $\mathbb R^2$ à ${\mathbb C}$ et l'on pose $z = w_1 + iw_2$ , $e = \cos\theta - i\sin\theta$ . De $w_1^2 + w_2^2 = 1$ on tire $w_1w_1' = -w_2w_2'$ , et un développement direct donne $i\theta' z = w_1' + iw_2' = z'.$

Par ailleurs, $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ (Exponentielle, (iv)) donnent $e' = -i\theta' e$ . Donc $(ze)' = i\theta' ze - i\theta' ze = 0$ : la fonction $ze$ est constante, égale à sa valeur en $t_0$ , qui vaut $\cos^2\theta_0 + \sin^2\theta_0 = 1$ . Comme $e\,(\cos\theta + i\sin\theta) = 1$ , on obtient $z = \cos\theta + i\sin\theta$ .

Unicité. Si $\tilde\theta$ convient aussi, $\exp\big(i(\theta - \tilde\theta)\big) = 1$ , donc $\theta - \tilde\theta$ prend ses valeurs dans $2\pi{\mathbb Z}$ (Le nombre π, (ii)). Continue sur l'intervalle $I$ , elle est constante, sans quoi elle prendrait une valeur intermédiaire hors de $2\pi\mathbb Z$ (Valeurs intermédiaires), et elle est nulle en $t_0$ .

Enfin, pour $w = T$ , $\theta' = \det(T, T') = \det(T, \kappa N) = \kappa\det(T, j(T)) = \kappa$ .

(iii) Soit $s$ une abscisse curviligne et $\delta = \gamma \circ s^{-1}$ , de classe $C^2$ (Abscisse curviligne). De $\gamma = \delta \circ s$ on tire, en notant $T$ , $N$ et $\kappa$ en $s(t)$ , $\begin{aligned} \gamma' &= s'\,T, \\ \gamma'' &= s''\,T + s'^2\kappa\,N. \end{aligned}$ Le déterminant étant bilinéaire et alterné, $\det(\gamma', \gamma'') = s'^3\kappa\det(T, N) = s'^3\kappa$ , et $s' = \|\gamma'\|$ .

(iv) Pour une droite parcourue à vitesse unité, $T$ est constant et $\kappa = 0$ . Pour le cercle, $\gamma'(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ et $\gamma''(t) = (-R\cos t, -R\sin t)$ ; donc $\det(\gamma', \gamma'') = R^2$ , $\|\gamma'\| = R$ , et (iii) donne $\kappa = \frac1R$ . Changer le sens de parcours change le signe de $\gamma'$ sans changer $\gamma''$ (on remplace $t$ par $-t$ ), donc celui de $\kappa$ .

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Remarque

La courbure est algébrique : son signe dit de quel côté la courbe tourne, à gauche quand $\kappa > 0$ , à droite quand $\kappa < 0$ . Il dépend du sens de parcours, mais non du paramétrage qui le respecte. Dans l'espace, il n'y a plus de côté privilégié, et la courbure sera un nombre positif (Repère de Frenet).

Remarque

Le relèvement (ii) est l'énoncé différentiable qui remplace la fonction « argument », laquelle n'existe pas continûment sur tout le cercle. Il ne dit pas que $\theta$ revient à sa valeur initiale le long d'une courbe fermée. Pour une courbe $\delta$ de période $L$ , $T(\sigma + L) = T(\sigma)$ , et, comme dans la preuve de l'unicité de (ii), $\theta(\sigma + L) - \theta(\sigma) \in 2\pi\mathbb Z$ (Le nombre π, (ii)) : la courbure totale $\int_0^L \kappa$ est un multiple entier de $2\pi$ , le nombre de tours de la tangente.

Remarque

Théorème des tangentes tournantes, admis ici. Si la courbe fermée $\delta$ est simple, c'est-à-dire injective sur une période, la courbure totale vaut $2\pi$ ou $-2\pi$ . H. Hopf l'a démontré en 1935 (« Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven », Compositio Mathematica 2, p. 50-62) en déformant la tangente en la direction des cordes $\delta(\sigma_2) - \delta(\sigma_1)$ sur un triangle de paramètres. La difficulté contournée est topologique : il faut l'invariance du nombre de tours par homotopie, qui relève du groupe fondamental, théorie qui n'est pas un ancêtre de celle-ci.

Repose sur

Abscisse curviligne et paramétrage par la longueur

Sert à

Théorème fondamental des courbes planes Repère de Frenet et formules de Frenet-Serret